Réponse :
Explications étape par étape
partieA
P(x)=2x³-3x²-1 sur R
limites si x tend vers-oo, P(x)tend vers-oo
si x tend vers+oo, P(x) tend vers+oo
Dérivée P'(x)= 6x²-6x=6x(x-1) P'(x)=0 pour x=0 et x=1
tableau de signes de P'(x) et de variations de P(x)
x -oo 0 1 +oo
P'(x) ............+.....................0...........-................0.................+............
P(x)-oo.........croi...............-1.........décroi...........-2...........croi.........+oo
D'après le TVI on note que P(x)=0 admet une et seule solution "alpha" telle que P(alpha)=0 sur l'intervalle [1;+oo[
P(1)=-2 et P(2)=3 donc 1<alpha<2
2b) calcule plus précisément la valeur de alpha avec le programme ou par encadrement. (programme je ne connais pas)
De ceci on déduit que P(x)<0 sur ]-oo; alpha[ et P(x)>0 sur ]alpha; +oo[
partie B
f(x)=(1-x)/(1+x³) sur ]-1 ; +oo[
limites si x tend vers -1 (avec x>-1) f(x) tend vers+oo
si x tend vers+oo f(x) tend vers 0-
dérivée f(x) de la forme u/v donc f'(x) =(u'v-v'u)/v²
f'(x)=-1(1+x³)-3x²(1-x)/(1+x³)²=(2x³-3x²-1)/(1+x³)²
on note que f'(x)=P(x)/(1+x³)²
donc f'x est du signe de P(x)
tableau
x -1 alpha +oo
f'(x)..........-..........................0................+........................
f(x)+oo.........décroi ........f(alpha).........croi................0-
calcule f(alpha) .
partie C
Equation de (T) y=f'(0)(x-0)+f(0)=-x+1
Position de (C) par rapport à (T)
on étudie le f(x)-y sur ]-1;+oo[
(1-x)/(1+x³)-(-x+1)
on arrive à f(x)-y= x³(x-1)/(1+x³)
1+x³ est toujours >0 car x>-1 il faut étudier le signe de x³(x-1)
A priori le point de tangence serait également un point d'inflexion.
La courbe est au dessus de (T) sur ]-1; 0[ U]1;+oo[ et en dessous sur ]0;1[
A vérfier.
