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Exercice 26: Alexandre place un capital initial Co= 3000 € à un taux annuel de 6%, les intérêts étant composés (intérêts capitalisés chaque année), c'est-à-dire que le capital d'une année est égal à la somme disponible de l'année précédente augmenté de 6%. On note C₂ le capital d'Alexandre au bout de n années, capital exprimé en euros. 1. Déterminer la relation de récurrence (Cn+1 en fonction de Cn) vérifiée par la suite (Cn). Qu'en déduit-on ? 2. Pour tout entier n, exprimer Cn en fonction de n. 3. De quel capital Alexandre dispose-t-il au bout de 10 ans ? 4. A l'aide d'une calculatrice (table de valeurs ou algorithme), au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 10 000 € ?​

Sagot :

AYRTONG

Réponse :

1) [tex]C_{n+1} = 1,06 * C_{n}[/tex] C'est une suite croissante et géométrique puisque q=1,06 > 1

2) On sait que pour une suite géométrique, on a [tex]C_{n} = C_{0} * q^{n} = 3 000 * 1,06^{n}[/tex]

3) On remplace n par 10, on trouve [tex]C_{10} = 5 372,54 euros[/tex]

4) Avec la calculatrice, on trouve 21 années.

Explications étape par étape :

1) On part de ce que nous dit l'énoncé avec C0 = 3 000 euros et une augmentation de 6% chaque année ce qui revient à faire le calcul suivant pour déterminer la somme disponible à l'année suivante:

C1 = C0 + 0,06 CO (le 0,06 est le 6%)

ainsi on a C1 = 1,06 CO et on retombe sur notre suite géométrique

2) Voir réponse

3) Voir réponse

4) Ici il faut tester à la main en choississant des n plus ou moins grands afin de trouver un C plus grand ou égal à 10 000 euros. Avec 21 ans, on trouve un C plus grand que 10 000.