bonjour
f(x) = (2x+3)/(x-2)
1)
ensemble de définition
le dénominateur ne doit pas s'annuler
D = R - {2}
f est définie sur les intervalles ]-∞ ; 2[ et ]2 ; +∞[
2)
dérivée
(u/v)' = (u'v-v'u)/v²
u : 2x + 3 u' : 2
v : x - 2 v' : 1
f'(x) = [2(x - 2) - (2x + 3)] / (x - 2)²
= (2x - 4 - 2x - 3)/(x - 2)²
= -7/(x - 2)²
f'(x) < 0 sur D
3)
tableau des variations
x -∞ 2 +∞
f'(x) - || -
f(x) 2 ↘ -∞ || +∞ ↘ 2
quand x -> ± ∞ f(x) a même limite que 2x/x soit 2
quand x -> 2⁺ le numérateur -> 7, le dénominateur -> 0⁺
f(x) -> + ∞
quand x -> 2⁻ f(x) -> -∞
4)
représentation graphique
les asymptotes de l'hyperbole sont les droites d'équations
x = 2 et y = 2
(il faut les placer sur le graphique que l'on construit à l'aide de quelques points)
5)
tangente au point d'abscisse 0
f(0) = -3/2
tangente en A(0 ; -3/2)
f'0) = -7/4
cette équation est de la forme : y = f(0) + f′(0)(x - 0) .
y = -3/2 + (-7/4)x
(la tangente à la courbe représentative d'une fonction f au point d'abscisse "a" a pour équation: y = f(a) + f′(a)(x - a) ).
