Réponse :
1) a) justifier que A(1/2 ; 2) et B(5 ; 1/5)
A(1/2 ; yA) et B(5 ; yB)
yA = f(1/2) = 1/1/2 = 2
yB = f(5) = 1/5
donc A(1/2 ; 2) et B(5 ; 1/5)
c) calculer les coordonnées de I
I milieu de (AB) ⇒ I((5 +1/2)/2 ; (1/5 + 5)/2)) = (11/4 ; 26/10)
2) a) prouver que l'équation de TA est y = - 4 x + 4 et que celle de TB est y = - 1/25) x + 2/5
f '(x) = - 1/x²
f '(1/2) = - 1/1/4 = - 4
f(1/2) = 2
y = f(1/2) + f '(1/2)(x - 1/2) = 2 - 4(x - 1/2) = 2 - 4 x + 2 = - 4 x + 4
donc l'équation de la tangente TA est : y = - 4 x + 4
f '(5) = - 1/25
f(5) = 1/5
y = f(5) + f '(5)(x - 5) = 1/5 - 1/25(x - 5) = 1/5 - 1/25) x + 1/5 = - 1/25) x + 2/5
donc l'équation de la tangente TB est : y = - 1/25) x + 2/5
c) déterminer les coordonnées du point J, intersection des deux droites TA et TB
on écrit ; - 4 x + 4 = - 1/25) x + 2/5 ⇔ - 4 x + 1/25) x = 2/5 - 4
⇔ - 99/25) x = - 18/5 ⇔ x = 90/99 = 10/11
y = - 4*10/11 + 4 = 4/11
J(10/11 ; 4/11)
3) a) trouver l'équation réduite de la droite (IJ)
I(11/4 ; 26/10) et J(10/11 ; 4/11)
y = a x + b
a : coefficient directeur = (4/11 - 26/10)/(10/11 - 11/4)
= (40/110 - 286/110)/(40 - 121)/44
= - 246/110/-81/44
= - 246 * 44/110*(-81)
a = 492/405
y = 492/405) x + b
4/11 = 492/405)* 10/11 + b ⇒ b = 4/11 - 984/891 = 3564
Explications étape par étape :