Bonjour,
Question 1 :
En pièce-jointe !
Question 2 :
a)
[tex]\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AC}.(\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE})[/tex]
[tex]= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}[/tex]
[tex]= \overrightarrow{AC}.(-\overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}[/tex]
[tex]= -\overrightarrow{AD}.(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}[/tex]
[tex]= -\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}[/tex]
[tex]= -\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}[/tex]
[tex]= -\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}[/tex]
[tex]= -\overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}[/tex]
b)
[tex]\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DE} = -\overrightarrow{AD}^2 + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}[/tex]
[tex]= -AD^2 + \overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{AB}\\= -2^2 + 1 \times 4\\= - 4 + 4 \\= 0[/tex]
On peut conclure que :
[tex]\overrightarrow{AC} \perp \overrightarrow{DE}[/tex]
[tex](AC) \perp (DE)[/tex]
Question 3 :
[tex]\overrightarrow{EF}.\overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{EA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DF}) .(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD})[/tex]
[tex]= \overrightarrow{EA}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EA}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DF}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DF}.\overrightarrow{CD}[/tex]
[tex]= \overrightarrow{EA}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DF}.\overrightarrow{CD}[/tex]
[tex]= \overrightarrow{EA}.\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AD}^2+ \overrightarrow{DF}.\overrightarrow{CD}[/tex]
[tex]= 1 \times 4 + 2^2 - 2 \times 4\\[/tex]
[tex]= 4 + 4 - 8 = 0[/tex]
On peut conclure que :
[tex]\overrightarrow{EF} \perp \overrightarrow{BD}[/tex]
[tex](EF) \perp (BD)[/tex]
