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Bonjour, pouvez vous m'aider svp j'ai un DM pour le 18/05

Le gérant d’un magasin de sport souhaite faire construire une aire rectangulaire à l’extérieur du magasin pour permettre aux dients de tester certains produits. Il veut que cette zone occupe 200 m² et que soit installée, sur trois de ses côtés, une clôture en bois coûtant 12 € le mètre. De plus, le long du côté attenant au mur du magasin, il fera poser une rangée de dalles en béton à 15 € le mètre.

Soient y la largeur et x la longueur du rectangle délimitant la zone. Le gérant aimerait connaitre les valeurs de x et de y qui minimiseraient le prix de l'entourage de cette aire sachant que x est compris entre 10 et 40 m.

1. a. Montrer que y =200/x

b. Montrer que le prix p de la construction de l'entourage peut s'exprimer en fonction de x et que: p(x) 27x+4800/x

2. étudier les variations de p sur l'intervalle [10;40].

3. Determiner les dimensions de la zone pour que le prix de l'entourage soit minimal.

Combien le gérant devra-t-payer ?

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ Aire rectangulaire de 200 m² :

  Longueur x largeur = 200 donne bien y = 200/x .

■ coût de la clôture sur 3 côtés :

   13,5o €uros/mètre

   [ y + 2*x ] * 13,5 = [ 200/x + 2x ]*13,5 = 2700/x + 27x .

■ coût du dallage béton :

   10,5o €uros/mètre

    y * 10,5 = 200/x * 10,5 = 2100/x .

■ ■ coût TOTAL :

      p(x) = 4800/x + 27x .

■ ■ dérivée :

       p ' (x) = -4800/x² + 27 nulle pour  

       x = √(4800/27) ≈ 13,33 mètres .

■ ■ tableau :

      x -->  10     13,33      20         30        40 mètres

p ' (x) --> -21         0         15       21,67      24

  p(x) --> 750    720      780       970     1200 €uros

■ ■ ■ conclusion :

          largeur = 13,33 mètres ; Longueur = 15 mètres ;

          Aire = 200 m² ;

          Coût TOTAL mini = 720 €uros !