Dans un repère orthonormé, P est la parabole d'équation y=x² , A est le point de coordonnées (3;0) et M est un point quelconque de P de coordonnées (x;x²) Le but de l'exercice est de déterminer la position de M telle que la distance AM soit minimale.

1. Etablir que AM est minimale si, et seulementsi, AM² est minimale.

2. Soit f la fonction telle que f(x)=AM². démontrer que f(x)= x^4+x²-6x+9.

3. Calculer la dérivée de f puis démontrer que f ' (x) = (x-1)(4x²+4x+6)

4. En déduire les varaitions de la fonction f sur R

5. Répondre au problème

Pouvez-vous repondre a ses question pour que je puisse comprendre mes erreurs et pour comparer les reponses s'il vous plais

Question

12-04-2012
Mathématiques

Answered

Dans un repère orthonormé, P est la parabole d'équation y=x² , A est le point de coordonnées (3;0) et M est un point quelconque de P de coordonnées (x;x²) Le but de l'exercice est de déterminer la position de M telle que la distance AM soit minimale.

1. Etablir que AM est minimale si, et seulementsi, AM² est minimale.

2. Soit f la fonction telle que f(x)=AM². démontrer que f(x)= x^4+x²-6x+9.

3. Calculer la dérivée de f puis démontrer que f ' (x) = (x-1)(4x²+4x+6)

4. En déduire les varaitions de la fonction f sur R

5. Répondre au problème

Pouvez-vous repondre a ses question pour que je puisse comprendre mes erreurs et pour comparer les reponses s'il vous plais

Sagot :

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MATHINFOVANNES MATHINFOVANNES · Answer 1 · 2012-04-14T09:36:35+02:00

Première question

Soit X un point de la parabole (P) et considérons la distance AX. Si AM est la distance miimale, alors AM [tex]\leqslant[/tex]AX; et en passant au carré (puisque la fonction [tex]x^2[/tex] est croissante sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex] nous avons [tex]AM^2\leqslant AX^2[/tex]. D'où le résultat.

Le "si et seulement si" qui sous-entend l'équivalence est obtenu parce que [tex]x^2[/tex] est une bijection sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex]

Seconde question

[tex]AM^2=\left(x_M-x_A\right)^2+^\left(y_M-y_A\right)^2=\left(x-3\right)^2+\left(x^2-0\right)^2=x^4+x^2-6x+9[/tex]

Voili voilà!!

Troisième et quatrième question

Ce n'est que du calcul!!

Il faut remarquer que 1 est racine de la dérivée, que [tex]4x^2+4x+6[/tex] est toujours positif, et que donc, le signe de la dérivéee st uniquement donné par [tex]x-1[/tex]. Le minimum est donc en [tex]M\left(1,1\right)[/tex]