Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
a)
Dans le triangle MNV, on a
MN = 4√3 cm, NV = 4 cm, MV = 8 cm
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on a
NV² + MN² = 4² + (4√3)² = 16 + 4²√3² = 16 + 16 × 3 = 16 + 48 = 64
MV² = 8² = 64
On a bien NV² + MN² = MV², donc le triangle MNV est rectangle.
b)
Dans le triangle MVN rectangle en N, on a :
Angle VNM = 90°
En utilisant la formule du cosinus, on peut trouver les angles du triangle MVN
Rappel
cosinus d'un angle = coté adjacent/hypoténuse
Dans le triangle MVN, on cherche l'angle NVM
A l'aide de la formule du cosinus, on a
coté adjacent = NV = 4 cm et hypoténuse = MV = 8 cm
cos (angle NVM) = NV/MV
application numérique
cos(angle NVM) = 4/8 = 1/2 = 0,5
En utilisant la touche INV ou 2ND et sur la touche COS simultanément,
on a l'angle NVM = 60°
donc on en déduit l'angle NMV dans le triangle rectangle MVN, en
effectuant le calcul suivant :
angle NMV = 90° - angle NVM = 90 - 60 = 30°
(car on est dans un triangle rectangle qui a déja un angle de 90° et
comme la somme des angles d'un triangle est 180°, on sait déjà que
l'on peut faire 180 - 90 = 90° )
donc l'angle NVM = 30°
On sait que la droite (NV) est perpendiculaire à la droite (NT) car
on a montré que le triangle MVN est rectangle en N
On sait aussi que dans l'énoncé le triangle OTM est rectangle en T
car les droites (OT) et (TN) sont perpendiculaires.
donc si (NV) est perpendiculaire à (TN) et la droite (OT) perpendiculaire à
(TN) alors les droites (NV) et (OT) sont parallèles
car si deux droites sont perpendiculaires alors toute droite
perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre .
Donc on sait que les points N,M,T et V,M,O sont alignés et les droites
(OT) et (NV) sont parallèles.
On sait aussi que MN = 4√3 cm, NV = 4 cm, MV = 8 cm et OM = 10 cm
dans les triangles MNV et MTO ,d'après le théorème de Thalès ,
on a
MN/MT = MV/MO = NV/TO
application numérique
4√3/MT = 8/10 = 4/5
donc 4√3/MT = 4/5
donc MT = 4√3 × 5/4
donc MV = 5√3 cm
Dans le triangle MTO rectangle en O, on a
OM = 10 cm et MT = 5√3 cm
d'après le théorème de Pythagore, on sait que
OM² = OT² + TM²
on cherche OT
donc on a
OT² =0M² - TM²
Application numérique
OT² = 10² - (5√3)²
OT² = 100 - 5²√3²
OT² = 100 - 25 × 3
OT² = 100 - 75
OT² = 25
OT = √25
OT = 5 cm
c)
Rappel
Tangente d'un angle = coté opposé / coté adjacent
dans le triangle OTI rectangle en I, on a
angle TOI = 40°, coté adjacent = OT = 5 cm,coté opposé = TI,
donc d'après la formule de la tangente d'un angle on a
tan (angle TOI) = TI/OT
application numérique
tan (40°) = TI/5
TI = 5 × tan (40°)
TI ≈ 4,2 cm arrondie au mm près (arrondie au millimètre près)
