mlleaudrey
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Help please !

Soit n appartient à N*, déterminer en fonction de n la valeur de la somme Sn=9+99+999+...+9999...999 (n fois)

J'ai cherché toutes les formules possibles mais rien a faire, merci d'avance  !

Sagot :

S(n)=9+99+999+...+9999...999 (n fois)
     =9 [1+(1+10)+(1+10+100)+...+(1+10+100+...10^(n-1)]
     =9[(1-10)/(1-10)+(1-10²)/(1-10)+(1-10³)/(1-10)+...+(1-10^n)/(1-10)]
     =(-1)[(1-10)+(1-10²)+(1-10³)+...+(1-10^n)]
     =(-1)[(1+1+1+...+1)-(10+10²+10³+10^n)]
     =-n+10(1+10+10²+...+10^(n-1)]
     =-n+10(1-10^n)/(1-10)
     =-n-10/9(1-10^n)
     =1/9*10^(n+1)-n-10/9