Réponse :
Considérons l'inégalité : (a-b)² + (b-c)² + (c-a)² .
Cela donne (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ac + a²).
Or un carré étant positif ou nul (dans R), une somme de carrés et positive ou nulle.
On a donc :
(a-b)² + (b-c)² + (c-a)² ≥ 0
donc (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ac + a²) ≥ 0
Quand on développe et qu'on regroupe on trouve :
(a² + b² + b² + c² + c² + a²) - 2ab -2bc -2ac ≥ 0
Donc en passant le deuxième groupe à droite, on a :
(a² + b² + b² + c² + c² + a²) ≥ (2ab + 2bc + 2ac)
Donc 2a² + 2b² + 2c² ≥ 2ab + 2bc + 2ac.
On divise par 2 (2>0 donc on ne change pas le sens de l'inégalité) et on obtient :
a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac , où dans l'autre sens, ab + bc + ac ≤ a² + b² + c²
