bonjour
Pour effectuer la démonstration, nous aurons seulement besoin du théorème de Pythagore .
Notre parallélépipède est selon l'énoncé un parallélépipède rectangle.
Ce qui implique que les faces de la figure sont des rectangles.
Chaque rectangle peut être coupé en traçant une diagonale en deux triangles rectangles.
Nommons ABCD le rectangle sur lequel repose le parallélépipède
Calculons la diagonale BD, c'est à dire celle qui va du coin supérieur gauche au coin inférieur droit.
Selon Pythagore :
BD² = L²+I²
Prenons maintenant un peu de hauteur et appelons maintenant le point qui correspond au coin supérieur gauche du rectangle se trouvant sur le dessus du parallélépipède, et nommons ce point E.
E est le point qui se trouve au-dessus de B dans l'espace.
La longueur "d" de notre diagonale correspond maintenant à une droite qui relie le point E au point D
Comme nous sommes toujours dans un parallélépipède rectangle , le triangle BDE est rectangle en B.
Nous avons donc un triangle avec les longueurs suivante et dont l'hypoténuse est ED
Nous allons à nouveau utiliser Pythagore et nous avons
donc :
ED² = BD² + BE²
notons que BE est une des arrêtes de notre parallélépipède et qui vaut selon l'énoncé" : "h " donc BE² = h²
on a montré aussi que BD² = L²+I²
nous avons dit que ED = "d" donc ED² = d²
donc nous pouvons écrire que
ED² = BD² + BE² ⇔ d² =L²+I² + h²
si d² = L²+I² + h² alors d = [tex]\sqrt{}[/tex] (L²+I² + h² )
Note : en toute rigueur, d vaut aussi - [tex]\sqrt{}[/tex] (L²+I² + h² ) , mais comme "d" est une distance et qu' il est absurde de parler d'une "distance négative " , on ne garder que la valeur positive de "d" .
2) tu peux faire cette question seul.
3)
a) si la base est un rectangle dont la longueur = largeur, nous avons donc un carré. Si la hauteur est aussi égal aux deux autres mesures, alors nous avons un cube.
si la hauteur n'était pas égale, alors nous aurions "prisme carré droit " dont deux faces seraient des carrés, et les deux autres des rectangles.
Nous avons montré que dans le parallélépipède rectangle
d = [tex]\sqrt{}[/tex] (L²+I² + h² )
si i= L=h alors d = [tex]\sqrt{}[/tex] (I²+I² + I² )
d = [tex]\sqrt{}[/tex] (3I²)
b) je te laisse faire. rien de difficile
