Réponse :
Bonjour il y a différentes méthodes en fonction de ton niveau (2de ou 1ère)
Explications étape par étape :
Plaçons nous dans le repère orthonormé (A; vecAB; vecAD)
on pose DM=DN=x avec x différent de 0 ; les coordonnées des points sont
A(0; 0), B(1; 0), D(0; 1), M(x;1) et N(0;1-x)
a) méthode de 2de avec les coefficients directeurs des droites (AM) et (BN)
pour (AM) a=1/x et pour (BN) a'=(1-x)/(-1)
les droites (AM) et (BN) sont perpendiculaires si a*a'=-1
(1/x)*(1-x)/(-1)=-1 ce qui donne (1-x)/(-x)=-1
on fait un produit en croix 1-x=x ou 2x=1 donc x=1/2
M est au milieu de [DC]
a) méthode de 1ére avec le produit scalaire
coordonnées de vecteurs vecBN(-1; 1-x) et vecAM(x; 1)
les droites (AM) et (BN) sont perpendiculaires si le produit scalaire vecAM*vecBN=0 (XX'+YY'=0)
soit si -x+1-x=0 soit 2x=1 d'on x=1/2
même réponse M est le milieu de [DC] et N le milieu de [AD]