Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Partie A :
Il manque le début de l'exo pour répondre à la 1) et la 2) : tu ne l'as pas remarqué ??
2)
Je suppose qu'il est écrit que la forêt perd 5% de ses arbres chaque année mais qu'on en replante 50.
Donc d'une année sur l'autre , la perte de 5% signifie que le nombre d'arbres est multiplié par (1-5/100) soit 0.95 , nb auquel il faut ajouter les 50 arbres replantés.
Donc :
U(n+1)=U(n) x 0.95 + 50
3)
a)
V(n)=U(n)-1000
V(n+1)=U(n+1)-100
V(n+1)=U(n) x 0.95 +50 -1000
V(n+1)=U(n) x 0.95 -950
On met 0.95 en facteur :
V(n+1)=0.95 x [U(n)-1000] car 0.95 x 1000=950
Mais : U(n)-1000=V(n) donc :
V(n+1)=0.95 x V(n)
qui prouve que (V(n)) est une suite géométrique de raison q=0.95 et de 1er terme V(0)=U(0)-1000=...je ne sais pas car je n'ai pas le début de l'exo donc je ne connais pas U(0).
D'après la suite , je soupçonne que :
U(0)=1500 donc V(0)=U(0)-1000=500
b)
On sait que pour une suite géométrique :
V(n)=V(0) x q^n soit ici :
V(n)=500 x 0.95^n
Mais U(n)=V(n)+1000 donc :
U(n)=1000 + 500 x 0.95^n
c)
Je ne sais pas en quelle année a commencé U(0) !!
4)
lim 0.95^n=0 car -1 < 0.95 < 1
lim (500 x 0.95^n)=500 x 0=0
lim (1000 + 500 x 0.95^n)=1000 + 0 =1000
Au bout d'un grand nombre d'années , on n'aura plus que 1000 arbres dans la forêt.
Partie B :
1)
On résout :
1000 + 500 x 0.95^n < 1100
500 x 0.95^n < 100
0.95^n < 0.2 ( car 100/500=0.2)
2)
Si tu as vu la fct ln(x) , on fait :
ln(0.95^n) < ln(0.2)
n x ln(0.95) < ln(0.2)
n > ln(0.2)/ln(0.95) ==> On a changé < en > car ln0.95 est négatif.
n > 31.377...
Au bout de 32 ans , la forêt n'est plus rentable.
Si tu n'as pas vu la fct ln(x), tu rentres la fct dans ta calculatrice qous cette forme :
Y1=1000+500*0.95^X
Avec :
DebTable=0
PasTable=1
Et tu fais "Table".
