Réponse :
Démontrons les 3 propositions suivantes dues à Viete, mathématicien du XVIe siècle
Proposition 1 : (a-b)²+4ab = (a+b)²
Proposition 2 : 2(a²+b²)-(a+b) = (a-b)²
Proposition 3 : (a²-b²)/(a+b) = a-b
Explications étape par étape :
Soit a et b 2 nombres.
Proposition 1 :
le carré de la différence de 2 nombres : (a-b)²
4 fois le produit de 2 nombres : 4ab
le carré de la somme de 2 nombres : (a+b)²
Nous pouvons donc écrire :
(a-b)²+4ab = a²-2ab+b²+4ab (je développe l'identité remarquable
(a-b)²=a²-2ab+b²)
(a-b)²+4ab = a²-2ab+4ab+b² (je rassemble les termes identiques)
(a-b)²+4ab = a²+2ab+b² (-2ab+4ab=2ab)
(a-b)²+4ab = (a+b)² (je factorise l'expression de l'identité
remarquable a²+2ab+b²=(a+b)²)
Proposition 2 :
le double de la somme des carrés de 2 nombres : 2(a²+b²)
le carré de la somme de 2 nombres : (a+b)²
le carré de la différence des 2 nombres : (a-b)²
Nous pouvons donc écrire :
2(a²+b²)-(a+b)² = 2a²+2b²-(a²+2ab+b²) (je développe l'expression
2(a²+b²) et l'identité remarquable
(a+b)² = a²+2ab+b²)
2(a²+b²)-(a+b)² = 2a²+2b²-a²-2ab-b² (je distribue le signe moins à
chacun des termes dans la
parenthèse)
2(a²+b²)-(a+b)² = 2a²-a²-2ab+2b²-b² (je rassemble les termes
identiques)
2(a²+b²)-(a+b)² = a²-2ab+b² (2a²-a²=a² ; 2b²-b²=b²)
2(a²+b²)-(a+b)² = (a-b)² (je factorise l'identité remarquable
�� a²-2ab+b²=(a-b)²)
Proposition 3 :
la différence des carrés de 2 nombres : a²-b²
la somme des nombres : a+b
la différence des 2 nombres : a-b
(a²-b²)/(a+b) = ((a+b)(a-b))/(a+b) (je factorise l'identité remarquable
a²-b²=(a+b)(a-b))
(a²-b²)/(a+b) = a-b (je simplifie le quotient par (a+b))
