Bonjour,
Déterminer les coordonnées exactes du point d'intersection M des droites d et d' .
Nous avons dans ce repère orthonormé deux droites d et d' qui sont les représentations graphiques de deux fonctions affines.
Pour rappel, une fonction affine peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b avec a ≠ 0
- Le coefficient a est appelé coefficient directeur et est obtenu en effectuant le calcul suivant :
[tex]a = \frac{y_b -y_a}{x_b - x_a} [/tex]
- Le coefficient b est appelé ordonnée à l'origine et correspond à l'ordonnée du point du point d'absisse 0 soit à l'image de 0 par la fonction donnée :
[tex]b = f(0)[/tex]
> Autre rappel : Les coordonnées d'un point sont écrits de la manière suivante :
(x ; y ) ou x, représente l'abscisse du point (lue sur l'axe horizontal) et y l'ordonnée du point (lue sur l'axe vertical)
1) a. Déterminons l'expression des deux fonctions affines .
- Commençons par la fonction représentée par la droite d.
On nous donne le point de coordonnées (3 ; 1), que l'on nommera B et le point de coordonnées (0 ; 2), que l'on nommera A.
▪️ Déterminons le coefficient directeur de la droite.
On applique le calcul énoncé précédemment :
[tex]a = \frac{ \orange{y_b} - \green{y_a}}{ \blue{x_b} - \red{x_a}} \\ \\A( \red{0} ; \green{2}) \: \: \: et \: \: B( \blue{3}; \orange{1})[/tex]
[tex]a = \frac{ \orange{1} - \green{2}}{ \blue{3} - \red{0}} = \boxed{\purple{ \frac{ - 1}{ \: \: \: 3} }}[/tex]
>> Nous pouvons placer le coefficient directeur de la droite d dans son expression : d(x) = (-1/3)x + b
▪️ Determinons l'ordonnée à l'origine de la droite.
Graphiquement, on voit que l'image de 0 par la droite d est 2. (Voir coordonnées du point que nous avons appelé A.
>> Nous avons donc l'équation de notre première droite : d(x) = (-1/3)x + 2 ✅
b.
▪️Effectuons le même travail avec la fonction représentée par la droite d'
On nous donne le point de coordonnées (2 ; 1) que l'on nommera B' et le point de coordonnées (0 ; 0) que l'on nommera A'.
On applique le calcul qui nous permet de déterminer le coefficient directeur de la droite :
[tex]a = \frac{ \orange{y_{b'}} - \green{y_{a'}}}{ \blue{x_{b'}} - \red{x_{a'}}} \\ \\A'( \red{2} ; \green{1}) \: \: \: et \: \: B'( \blue{0}; \orange{0})[/tex]
[tex]a = \frac{ \orange{0} - \green{1}}{ \blue{0} - \red{2}} = \frac{ - 1}{ - 2} = \boxed{ \purple{ \frac{1}{2} }}[/tex]
>> Nous pouvons placer le coefficient directeur de la droite d' dans son expression : d'(x) = (1/2)x + b
▪️ Déterminons l'ordonnée à l'origine de la droite.
Graphiquement, on voit que l'image de 0 par la droite d' est 0. (Voir coordonnées du point que nous avons appelé A')
>> Nous avons donc l'équation de notre première droite : d'(x) = (1/2)x + 0 ⇔ d'(x) = (1/2)x✅
2) Pour trouver l'abscisse du point d'intersection M, on résout l'équation d(x) = d'(x) :
[tex] \red{d(x)} = \green{d'(x)} \\ \\ \: \: \Longrightarrow \red{\frac{1}{2}x} = \green{- \frac{1}{3}x + 2} \: \: \: \: \: \: \\ \\ \Longrightarrow \frac{1}{2}x - ( - \frac{1}{3}x) = 2 \\ \\ \Longrightarrow \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x = 2 \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \Longrightarrow \frac{3}{6}x + \frac{2}{6}x = 2 \: \: \: \: \: \: \\ \\ \Longrightarrow \frac{5}{6}x = 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
[tex]\Longrightarrow5x = 12 \\ \\ \Longrightarrow \boxed{\orange{x = 2.4}}[/tex]
L'abscisse du point d'intersection M est égale à 2,4 ; Ses coordonées s'écrivent de la façon suivante :
M(2,4 ; y)
3) Pour déterminer l'ordonnée du point M, on cherche l'image de son abscisse par l'une des deux fonctions données.
[tex]d(x) = - \frac{1}{3}x + 2 \\ \\ \Longrightarrow \: d(2.4) = - \frac{1}{3} \times 2.4 + 2 \\ \\ \Longrightarrow \: d(2.4) = - \frac{ 2.4}{3} + 2 \: \: \: \: \: \\ \\\Longrightarrow \: d'(2.4) = - \frac{2.4}{3} + \frac{6}{3} \ \: \: \\ \\\Longrightarrow d(2.4) = \frac{3.6}{3} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]
[tex]\green{\Longrightarrow } \boxed{\blue{d(2.4) = 1.2}} [/tex]
[tex] \purple{d'(x) = \frac{1}{2}x }\\ \\ \Longrightarrow d'(2.4) = \frac{1}{2} \times 2.4 \\ \\ \Longrightarrow d'(2.4) = \frac{2.4}{2} \: \: \: \: \: \: \\ \\ \blue{\Longrightarrow} \: \boxed{\green{d'(2.4) = 1.2}}[/tex]
>> Par conséquent, nous avons :
M(2,4 ; 1,2) ✅
Bonne journée
