Bonjour,
Moi, je vois aire en jaune = aire du triangle blanc :-)
Je précise donc les surfaces en pièce jointe.
On note AB = c ; AC = b et BC = a
Tout d'abord, on doit montrer que B appartient bien au cercle de diamètre [AC]
Soit O le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à O.
O est à la fois le milieu de [AC] et de [BD] ABCD est donc un parallélogramme dont un coin est carré. Il s’agit donc d’un rectangle.
Ses diagonales sont donc de même longueur et se coupent en leur milieu, soit OA = OB = OC = OD
Les points A, B et C appartiennent donc tous au cercle de diamètre [AC]
On a donc A0 + A1 + A2 = ½ aire du cercle de diamètre [AC]
Soit A0 + A1 + A2 = ½ π (b/2)²
Ou encore A1 + A2 = ½ π (b/2)² - A0 (Egalité 1)
D'autre part A2 + B2 = ½ aire du cercle de diamètre [AB]
Soit B2 = ½ π (c/2)² - A2
Enfin A1 + B1 = ½ aire du cercle de diamètre [BC]
Soit B1 = ½ π (a/2)² - A1
On en déduit que B1 + B2 = ½ π (a/2)² - A1 + ½ π (c/2)² - A2
Soit B1 + B2 = ½ π (a/2)² + ½ π (c/2)² - ½ π (b/2)² + A0 d'après Egalité 1
ce qui équivaut B1 + B2 = 1/8 π (a² + c² - b²) + A0
D'un autre côté, le triangle ABC est rectangle en B. D'après le th. de Pythagore a² + c² = b²
Ce qui nous permet de conclure que B1 + B2 = A0
