Bonjour,
1)a- pour que f(x) soit définie nous devons avoir x-2 différent de 0
ce qui revient à dire x différent de 2
donc f est bien définie sur tout IR privé de 2
[tex]\boxed{D_f=]-\infty;2[\cup ]2;+\infty[}[/tex]
b-
prenons x réel différent de 2 et de 0
[tex]f(x)=\dfrac{x^2-x-1}{x-2}\\\\=\dfrac{x-1-\dfrac1{x}}{1-\dfrac{2}{x}}[/tex]
ce qui permet de lever les formes indéterminées
De plus
[tex]x^2-x-1=(x-\dfrac1{2})^2-\dfrac1{4}-1\\\\=(x-\dfrac1{2})^2-\dfrac{5}{4}\\\\=(x-\dfrac1{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2})(x-\dfrac1{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2})\\\\[/tex]
Les racines sont strictement majorées par 2.
[tex]\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} < \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} < \dfrac{1+\sqrt{9}}{2}=2[/tex]
Au voisinage de 2 suffisament proche de 2, c 'est positif et donc le signe de f(x) est le même que le signe de x-2
On peut aussi faire le tableau de signe si cela est plus parlant.
donc
[tex]\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty\\\\\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=-\infty\\\\\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x)=+\infty\\\\\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x)=-\infty\\\\[/tex]
2)a- f est dérivable sur son domaine car quotient de fonctions qui le sont et la fonction au dénominateur ne s'annule pas
b-
pour x réel différent de 2
[tex]f'(x)=\dfrac{(2x-1)(x-2)-(x^2-x-1)}{(x-2)^2}\\\\=\dfrac{(2x^2-4x-x+2-x^2+x+1)}{(x-2)^2}\\\\=\dfrac{(x^2-4x+3)}{(x-2)^2}\\\\=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x-2)^2}\\\\[/tex]
c-
f'(x) est positive pour x plus petit que 1
f'(x) est négative pour x plus petit que 2 et plus grand que 1
f'(x) est négative pour x plus petit que 3 et plus grand que 2
f'(x) est positive pour x plus grand que 3
la courbe en pièce jointe
Merci
