Bonjour,
1. Les vecteurs AE et BE ont la même direction et des sens opposés.'
Leur normes vérifient la relation suivante mA . ||AE|| = mB . ||BE||
On en déduit que mA . AE = - mB . BE
2. Si mA = 40 et mB = 20 alors 40 AE = -20 BE
d'où 40 AE = -20 BA - 20 AE (relation de Chasles)
Soit AE = 1/3 AB
On en déduit que :
xE = 1/3 xB - 1/3 xA + xA = 2/3 xA + 1/3 xB = 4/3 + 8/3 = 12/3 = 4
yE = 1/3 yB - 1/3 yA + yA = 2/3 yA + 1/3 yB = 2 + 1 = 3
E(4 ; 3)
3. mA . AE = - mB . BE = mB . EB
⇔ mA . AE = mB . EA + mB . AB
⇔ mA . AE + mB . AE = mB . AB
⇔ (mA + mB) . AE = mB . AB
⇔ AE = (mB / (mA + mB)) . AB
On note M = mA + mB
Nous avons ainsi AE = (mB/M) . AB
xE = xA + (mB/M) xB - (mB/M) xA et yE = yA + (mB/M) yB - (mB/M) yA
⇔ xE = (1 - mB/M) xA + (mB/M) xB et yE = (1 - mB/M) yA + (mB/M) yB
Or mA + mB = M ⇔ mA/M + mB/M = 1 soit 1 - mB/M = mA/M
On en conclut que
xE = (mA/M) xA + (mB/M) xB et yE = (mA/M) yA + (mB/M) yB
Ou encore:
[tex]x_{E} = \frac{m_{A}}{m_{A}+m_{B}} . x_{A} + \frac{m_{B}}{m_{A}+m_{B}} . x_{B}[/tex] et [tex]y_{E} = \frac{m_{A}}{m_{A}+m_{B}} . y_{A} + \frac{m_{B}}{m_{A}+m_{B}} . y_{B}[/tex]
