Bonjour,
La courbe représentative de la fonction exponentielle est la courbe
[tex]y=e^x[/tex]
Prenons un point quelconque sur cette courbe de coordonnées
[tex](x_0, e^{x_0})[/tex]
la tangente en ce point à la courbe représentative de la fonction exponentielle est
[tex]y-e^{x_0}=e^{x_0}(x-x_0)[/tex]
soit
[tex]y=e^{x_0}(1+x-x_0)[/tex]
Etudions la position de la courbe représentative de la fonction exponentielle par rapport à cette tangente
posons
[tex]g(x)=e^x-y=e^x-e^{x_0}(1+x-x_0)[/tex]
g est définie, dérivable etc sur IR et
[tex]g'(x)=e^x-e^{x_0}[/tex]
du coup g est décroissante pour [tex]x\leq x_0[/tex] et croissante sinon
elle admet un mininum en [tex]x_0[/tex]
qui vaut
[tex]g(x_0)=0[/tex]
et cela est vrai pour tout [tex]x_0[/tex]
donc g(x) est toujours positif et la courbe représentative de la fonction exponentielle se situe au dessus de toutes ses tangentes.
Merci
