Bonsoir,
Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle rectangle correspond au milieu de l'hypoténuse qu'on note I.
Pour le démontrer il suffit de considérer le point D symétrique de A par rapport à I (milieu de [BC].
ACDB est un parallélogramme car ses diagonales se coupent en leur milieu. Or BAD est un angle droit. ACDB est par conséquent un rectangle.
D'où IA=IB=IC=ID (car les diagonales d'un rectangle en la même longueur).
Aire coloriée = Aire du demi cercle de diamètre [AB] + Aire du demi cercle de diamètre [AC] + Aire du triangle ABC - Aire du demi cercle de diamètre [BC]
Aire coloriée = π (AB/2)² / 2 + π (AC/2)² / 2 + AB.AC/2 - π (BC/2)² / 2
Aire coloriée = (π/8) (AB² + AC² - BC²) + AB.AC/2 = AB.AC/2
Puisque BC² = AB² + AC² d'après le th. de Pythagore.
On en déduit que l'aire colorée est égale à l'aire du triangle ABC = AB.AC/2
