Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Partie A :
1)
P(x)=2x³-3x²-1
P ' (x)=6x²-6x qui est < 0 entre les racines car le coeff de x² est > 0.
P '(x)=6x(x-1)
Les racines sont donc x=0 et x=1.
Variation :
x------->-∞...................0....................1...................+∞
P '(x)-->...............+.....0...........-........0...........+...........
P(x)--->............C........-1.......D..........-2........C.........
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
2)
a)
P(1)=-2-3-1=-2 et P(2)=2*8-3*4-1=3
Sur l'intervalle ]1;2[ , P(x) passe d'une valeur négative à une valeur positive , donc on admet qu'il existe un unique réel α tel que f(α)=0.
b)
D'après le tableau de variation de P(x) , on déduit que P(x) < 0 sur ]-∞;α[ et P(x) > 0 sur ]α;+∞[.
x------>-∞..........................1 < α < 2.........................+∞
P(x)-->...............-.....................0.............+.................
Avec la calculatrice , on trouve α ≈ 1.7 car :
f(1.6) ≈ -0.488 < 0 et f(1.7) ≈ 0.156 > 0
c)
En 1ère ligne du tableau :
a=1 ; b=2 ; b-a=1 > 0.1 donc c=(1+2)/2=3/2
f(a)*f(c)=f(1)*f(3/2)=(-2)*(-1)=2 > 0
En 2ème ligne du tableau :
a=c=3/2 ; b=2 ; b-a=1/2 > 0.1 ; c=(3/2+2)/2=7/4
f(3/2)*f(7/4)=(-1)(≈0.53) < 0
En 3ème ligne du tableau :
a=3/2 ; b=c=7/4;b-a=7/4-3/2=1/4 > 0.1 ; c=(3/2+7/4)/2=13/8
Etc.
Bon courage !!
L'affichage final doit donner un encadrement de "α" du genre :
1.6 < α < 1.7 avec f(α)=0.
Partie B :
f(x) est de la forme u/v avec :
u=1-x donc u'=-1
v=1+x³ donc v'=3x²
f '(x)=[-(1+x³)-(3x²)(1-x)] / (1+x³)²
f '(x)=-1-x³-3x²+3x³)/(1+x³)²
f '(x)=(2x³-3x²-1) / (1+x³)²
f '(x)=P(x) / (1+x³)²
Donc f '(x) est du signe de P(x).
Variation de f(x) :
x------->-1......................α≈1.7.......................+∞
f '(x)--->..............-..............0............+.............
f (x)--->||.........D...........f(α)..............C.............
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
f(1.7) ≈- 0.1184
