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Bonjour , je dois faire l'exercice 1 sur les récurences que je ne comprend.J'ai fais la question 1 qui était calculer u2,u3 mais je n'arrive pas a faire la démonstration par récurrence.
Si quelqu'un peut me la faire et m'expliquer comment il a fais s'il vous plaît?
Je vous remercie.
Passez une bonne journée

Sagot :

MOZI

Bonjour,

u(2) = 1 x 2 + 2 x 3 = 2 + 6 = 8

u(3) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 8 + 12 = 20

u(4) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 = 20 + 20 = 40

On note que u(n+1) = u(n) + (n+1) (n+2)

Pour n = 1 on a u1 = 1 x 2 = 1 x (1+1) x (1+2) / 3

Supposons que l'égalité est vraie pour le rang n  (soit un = n ( n+1) (n+2) /3) et montrons qu'elle l'est aussi pour le rang n+1

On a :

u(n+1) = u(n) + (n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2)

u(n+1) = (n/3 + 1) (n+1) (n+2) = (n+1) (n+2) (n+3)/3

L'égalité est ainsi vraie au rang n+1.

Nous avons ainsi démontré par récurrence que l'égalité est vraie pour tout n dans IN*