Bonjour,
u(2) = 1 x 2 + 2 x 3 = 2 + 6 = 8
u(3) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 8 + 12 = 20
u(4) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 = 20 + 20 = 40
On note que u(n+1) = u(n) + (n+1) (n+2)
Pour n = 1 on a u1 = 1 x 2 = 1 x (1+1) x (1+2) / 3
Supposons que l'égalité est vraie pour le rang n (soit un = n ( n+1) (n+2) /3) et montrons qu'elle l'est aussi pour le rang n+1
On a :
u(n+1) = u(n) + (n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2)
u(n+1) = (n/3 + 1) (n+1) (n+2) = (n+1) (n+2) (n+3)/3
L'égalité est ainsi vraie au rang n+1.
Nous avons ainsi démontré par récurrence que l'égalité est vraie pour tout n dans IN*