Sagot :
Réponse :
Bonjour
1)tu as dû trouver f'(x)=3x²+2x+1 , cette dérivée est toujours >0 donc f(x) est croissante sur R
Explications étape par étape :
2) on note que f(0)=0 et que f'(0)=1
équation de la tangente au point x=0 est y=1(x-0)+0=x
donc la droite (d) d'équation y=x est la tangente à Cf au point d'abscisse x=0
3) Etudions le signe de f(x)-x
x³+x²+x-x=x³+x²=x²(x+1) cette expression =0 pour x=0 et x=-1
tableau de signes
x -oo -1 0 +oo
x² + + 0 +
x+1 - 0 + +
f(x)-x - 0 + 0 +
Cf est en dessous de (d) pour x appartenant à]-oo; -1[ et au dessus de (d) pour x appartenant ]-1;0[U]0;+oo[
la valeur x=0 étant le point de tangence entre Cf et (d)
4)Cf a une et une seule tangente de coefficient directeur 2/3 si f'(x)=2/3 a une solution unique
Résolvons 3x²+2x+1=2/3 ou 3x²+2x+1/3=0ou (9x²+6x+1)/3=0
on note que 9x²+6x+1=(3x+1)² solution unique x=-1/3
soit (T) cette tangente son équation est donc y=(2/3)(x +1/3)+f(-1/3)
calcule la si tu veux mais on ne te la demande pas.
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Mais tu peux ajouter que:
la dérivée seconde f"(x)=6x+2 cette dérivée seconde s'annule pour x=-1/3 ce que signifie que ce point de Cf d'abscisse -1/3 est un point d'inflexion
sur ]-oo; -1/3[ Cf est concave et se trouve en dessous de la tangente (T)
sur ]1/3; +oo[ Cf est convexe et se trouve au dessus de (T)
