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Sagot :

Réponse : 1) voir explication

b) Voir explication

2) a) b)Voir explication

c) x = 6 - 2[tex]\sqrt{5}[/tex]

3) x compris entre 6 - [tex]2\sqrt{5}[/tex] et 4

Explications étape par étape :

1) a) ABCD est un carré donc : EDC = 90°

EDC est un triangle rectangle en D donc Aire EDC = DC x DE : 2

Aire EDC = [tex]4 * (4 - x) : 2 = (16 - 4x) : 2 = 8 - 2x[/tex]

ABCD carré donc : EAF = 90°

EAF est un triangle rectangle donc Aire EAF = AE x AF : 2 = [tex]x * x : 2 = \frac{x^{2} }{2}[/tex]

b) ABCD est un carré. La bissectrice de EAF est un axe de symétrie qui transforme C en C et D en B.

AEF est rectangle isocèle en A. La bissectrice de EAF est un axe de symétrie qui transforme E en F.

EDC est donc symétrique de FBC par la symétrie d'axe la bissectrice de EAF.

Aire EDC = Aire FBC

Aire ABCD = 2 Aire EDC + Aire AEF + Aire EFC

[tex]16 = 2*(8 - 2x) + \frac{x^{2} }{2} + Aire EFC[/tex]

Aire EFC = [tex]16 - 16 + 4x - \frac{x^{2} }{2} = 4x - \frac{x^{2} }{2}[/tex]

2) Aire EDC = Aire EFC ⇔ [tex]8 - 2x = 4x - \frac{x^{2} }{2}[/tex] ⇔ [tex]16 - 4x = 8x - x^{2}[/tex]

                                       ⇔ [tex]16 - 12x + x^{2} = 0[/tex]

b) on utilise la forme canonique :

[tex](x - 6)^{2} - 36 + 16 = 0[/tex] donc : [tex](x - 6)^{2} - (\sqrt{20}) ^{2} = 0[/tex]

Par l'identité fondamentale, on a : [tex]x^{2} - 12x + 16 = (x - 6 - \sqrt{20} ) (x - 6 + \sqrt{20})[/tex]

c) Un produit est égal à 0 si l'un des facteurs est égal à 0.

[tex](x - 6 - \sqrt{20})(x - 6 + \sqrt{20}) = 0[/tex] ⇔ [tex]x - 6 - \sqrt{20} = 0[/tex] ou [tex]x - 6 + \sqrt{20} = 0[/tex]

                                                  ⇔ [tex]x = 6 + 2\sqrt{5}[/tex] ou [tex]x = 6 - 2\sqrt{5}[/tex]

or x est compris entre 0 et 4 donc : [tex]x = 6 - 2\sqrt{5}[/tex]

3) Aire EFC > Aire EDC ⇔ [tex]4x - \frac{x^{2} }{2} > 8 - 2x[/tex] ⇔ [tex]8x - x^{2} > 16 - 4x[/tex]

                                       ⇔ [tex]-x^{2} + 4x - 16 > 0[/tex] ⇔ [tex]x^{2} - 4x + 16 < 0[/tex]

Il faut donc résoudre : [tex](x - 6 - 2\sqrt{5}) (x - 6 + 2\sqrt{5}) < 0[/tex]

Via le tableau de signe, on trouve que x doit etre compris entre [tex]6 - 2\sqrt{5}[/tex] et 4

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