Réponse : 1) voir explication
b) Voir explication
2) a) b)Voir explication
c) x = 6 - 2[tex]\sqrt{5}[/tex]
3) x compris entre 6 - [tex]2\sqrt{5}[/tex] et 4
Explications étape par étape :
1) a) ABCD est un carré donc : EDC = 90°
EDC est un triangle rectangle en D donc Aire EDC = DC x DE : 2
Aire EDC = [tex]4 * (4 - x) : 2 = (16 - 4x) : 2 = 8 - 2x[/tex]
ABCD carré donc : EAF = 90°
EAF est un triangle rectangle donc Aire EAF = AE x AF : 2 = [tex]x * x : 2 = \frac{x^{2} }{2}[/tex]
b) ABCD est un carré. La bissectrice de EAF est un axe de symétrie qui transforme C en C et D en B.
AEF est rectangle isocèle en A. La bissectrice de EAF est un axe de symétrie qui transforme E en F.
EDC est donc symétrique de FBC par la symétrie d'axe la bissectrice de EAF.
Aire EDC = Aire FBC
Aire ABCD = 2 Aire EDC + Aire AEF + Aire EFC
[tex]16 = 2*(8 - 2x) + \frac{x^{2} }{2} + Aire EFC[/tex]
Aire EFC = [tex]16 - 16 + 4x - \frac{x^{2} }{2} = 4x - \frac{x^{2} }{2}[/tex]
2) Aire EDC = Aire EFC ⇔ [tex]8 - 2x = 4x - \frac{x^{2} }{2}[/tex] ⇔ [tex]16 - 4x = 8x - x^{2}[/tex]
⇔ [tex]16 - 12x + x^{2} = 0[/tex]
b) on utilise la forme canonique :
[tex](x - 6)^{2} - 36 + 16 = 0[/tex] donc : [tex](x - 6)^{2} - (\sqrt{20}) ^{2} = 0[/tex]
Par l'identité fondamentale, on a : [tex]x^{2} - 12x + 16 = (x - 6 - \sqrt{20} ) (x - 6 + \sqrt{20})[/tex]
c) Un produit est égal à 0 si l'un des facteurs est égal à 0.
[tex](x - 6 - \sqrt{20})(x - 6 + \sqrt{20}) = 0[/tex] ⇔ [tex]x - 6 - \sqrt{20} = 0[/tex] ou [tex]x - 6 + \sqrt{20} = 0[/tex]
⇔ [tex]x = 6 + 2\sqrt{5}[/tex] ou [tex]x = 6 - 2\sqrt{5}[/tex]
or x est compris entre 0 et 4 donc : [tex]x = 6 - 2\sqrt{5}[/tex]
3) Aire EFC > Aire EDC ⇔ [tex]4x - \frac{x^{2} }{2} > 8 - 2x[/tex] ⇔ [tex]8x - x^{2} > 16 - 4x[/tex]
⇔ [tex]-x^{2} + 4x - 16 > 0[/tex] ⇔ [tex]x^{2} - 4x + 16 < 0[/tex]
Il faut donc résoudre : [tex](x - 6 - 2\sqrt{5}) (x - 6 + 2\sqrt{5}) < 0[/tex]
Via le tableau de signe, on trouve que x doit etre compris entre [tex]6 - 2\sqrt{5}[/tex] et 4