Réponse :
1) g est de la forme u*v avec u = 12-x et v=[tex]\sqrt{x}[/tex]
une fonction de la forme uv se dérive en u'v + uv'.
u = 12-x donc u' = -1
v = [tex]\sqrt{x}[/tex] donc v' = [tex]\frac{1}{2\sqrt{x} }[/tex]
Donc g'(x) =
[tex]-1\sqrt{x} +(12-x)\frac{1}{2\sqrt{x} }[/tex] = [tex]-\sqrt{x} +\frac{12-x}{2\sqrt{x} }=\frac{-\sqrt{x} *2\sqrt{x} }{2\sqrt{x} } +\frac{12-x}{2\sqrt{x} }=\frac{-2x+12-x}{2\sqrt{x} } =\frac{12-3x}{2\sqrt{x} }[/tex]
2) g' s'annule lorsque son numérateur est nul, soit lorsque:
12-3x = 0 ⇔ 12 = 3x ⇔ 4=x
Pour savoir lorsqu'elle est positive, on résout l'inéquation car [tex]2\sqrt{x}[/tex] est positif sur R, donc le signe ne dépend que du numérateur:
12-3x ≥ 0 ⇔ 12 ≥ 3x ⇔ 4 ≥ x
g' est donc positive sur [1 ; 4] et négative ensuite.
(Pour le tableau de signes, voir image jointe)
g(4) = (12-4)[tex]\sqrt{4}[/tex] = 8[tex]\sqrt{4}[/tex] = 8*2 = 16
Bonne soirée :)
