Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Je ne suis pas d'accord avec tes réponses "transition..".
1)
a)
F étant une primitive de f(x) , F '(x)=f(x). OK ?
F '(-1)=f(-1)=(-1-1+2)*exp(-1)=0*exp(-1)=0
F '(2)=f(2)=(-4+2+2)*exp(2)=0*exp(2)=0
b)
L'exponentielle est toujours positive donc F '(x) est du signe de :
-x²+x+2
qui est > 0 entre les racines car le coeff de x² est < 0.
Les racines sont x=-1 et x=2 trouvées en 1)a).
Variation de F(x) :
x------->-∞.................-1....................2......................+∞
F '(x)-->...........-..........0.........+........0..........-.............
F(x)--->.........D......... ..? ....C...........?.........D.........
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
2)
a)
F(x)=(ax²+bx-1)*exp(x)
de la forme u*v avec :
u=ax²+bx-1 donc u'=2ax+b
v=exp(x) donc v'=exp(x)
F '(x)= u'v+uv'
F '(x)=exp(x)(2ax+b) + exp(x)(ax²+bx-1)
F '(x)=[ax²+x(2a+b)+b-1]*exp(x)
b)
Par identification avec F '(x)=f(x)=(-x²+x+2)*exp(x) , on a :
a=-1
2a+b=1 ==>-2+b=1
b=3
b-1=2
b=3
On arrive donc à :
F(x)=(-x²+3x-1)*exp(x)
c)
limite en +∞ :
lim (-x²+3x-1)=-∞ quand x tend vers +∞
lim exp(x)=+∞ quand x tend vers +∞
Par produit :
lim F(x)=(-∞) x (+ ∞) =-∞ quand x tend vers +∞.
limite en -∞ :
lim (-x²+3x-1)=-∞ quand x tend vers -∞
lim exp(x)=0 quand x tend vers -∞
Forme indéterminée. Mais on admet en général que la fct exponentielle impose sa limite à toute puissance de "x".
Donc :
lim F(x)=0 quand x tend vers -∞.
Voir graph de F(x) joint.
