Bjr
1.
g est dérivable sur IR et pour x réel
[tex]g'(x)=-1[/tex]
Or nous avons
[tex]\dfrac1{2}g(x)+\dfrac1{2}x=-\dfrac1{2}x-1+\dfrac1{2}x=-1=g'(x)[/tex]
Donc g est une solution particulière de (E)
2.
Si f est solution f vérifie pour tout x de IR
[tex]f'(x)=\dfrac1{2}f(x)+\dfrac1{2}x[/tex]
et de même nous savons que
[tex]g'(x)=\dfrac1{2}g(x)+\dfrac1{2}x[/tex]
Par différence des deux égalités, cela donne
[tex]f'(x)-g'(x)=\dfrac{d}{dx}(f-g)(x)\\\\=\dfrac1{2}(f(x)-g(x))+\dfrac1{2}x-\dfrac1{2}x\\\\=\dfrac1{2}(f(x)-g(x))[/tex]
Donc f-g est solution de
[tex]y'=\dfrac1{2}y[/tex]
3. Nous savons que les solutions de l'équation différentielle précédente sont de la forme
[tex]y(x)=ke^{\dfrac1{2}x}[/tex]
En utilisant les résultats de la question 2, les solutions de (E) sont donc de la forme
[tex]\boxed{y(x)=ke^{\dfrac1{2}x}-x-2}[/tex]
4.
Si nous imposons y(2)=0 cela donne [tex]ke-2-2=0 < = > k=4e^{-1}[/tex]
Donc la solution h demandée est définie pour tout x réel par
[tex]\boxed{h(x)=4e^{\frac1{2}x-1}-x-2}[/tex]
Merci
