Bonjour Lucas,
Partie 1
1.a) On cherche les modules et arguments de 2 nombres complexes.
Rappel :
Le Module
on le notera |z|
Soit z = a + ib , |z| = [tex]\sqrt{a^2 + b^2}[/tex]
L' Argument
on le notera Ф
La forme trigonométrique d'un nombre complexe est :
z = |z| ( cos(Ф) + isin(Ф) )
Ainsi, par identification des parties (réelle et imaginaire) :
a = |z| * cos(Ф)
⇒ cos(Ф) = [tex]\frac{a}{|z|}[/tex]
b = |z| * sin(Ф)
⇒ sin(Ф) = [tex]\frac{b}{|z|}[/tex]
D'où :
|[tex]z_A[/tex]| = [tex]\sqrt{(-\sqrt{3} )^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2[/tex]
|[tex]z_B[/tex]| = [tex]\sqrt{(-\sqrt{3} )^2 + (-1)^2} = \sqrt{4} = 2[/tex]
Soit Ф = arg([tex]z_A[/tex])
cos(Ф) = [tex]\frac{-\sqrt{3} }{2}[/tex] , sin(Ф) = [tex]\frac{1}{2}[/tex] ⇒ Ф = [tex]\frac{5pi}{6}[/tex]
Soit ω = arg([tex]z_B[/tex])
cos(ω) = [tex]\frac{-\sqrt{3} }{2}[/tex] , sin(ω) = [tex]\frac{-1}{2}[/tex] ⇒ ω = [tex]\frac{-5pi}{6}[/tex]
1.b) Voir pièce jointe
1.c) On sait que : OA = |[tex]z_A[/tex]| = 2 et OB = |[tex]z_B[/tex]| = 2.
Montrons AB = 2.
AB = |[tex]z_B - z_A[/tex]| = |[tex]-2i[/tex]| = [tex]\sqrt{(-2)^2} = 2[/tex]
Ainsi, OAB est un triangle équilatéral.
Partie 2
2. a.
2z - 4i = iz + 2
⇔ 2z - 4i - iz = 2
⇔ 2z - iz = 2 + 4i
⇔ z(2 - i) = 2 + 4i
⇔ z = [tex]\frac{2+4i}{2-i}[/tex]
On multiplie par le conjugué de 2-i pour se débarrasser des i en bas
⇔ z = [tex]\frac{(2+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}[/tex]
⇔ z = [tex]\frac{4 + 2i + 8i - 4}{4 +1}[/tex]
⇔ z = [tex]\frac{10i}{5}[/tex] = 2i
2.b) C = 2i
Voir la pièce jointe
2.c) On sait BO = 2.
Le coté opposé de BO est AC. Montrons AC = 2
AC = |[tex]z_C - z_A[/tex]| = |[tex]2i - (-\sqrt{3} + i )[/tex]| = |[tex]\sqrt{3} + i[/tex]| = [tex]\sqrt{(\sqrt{3} )^2 + 1^2} = \sqrt{4} = 2[/tex]
On sait AB = 2.
Le coté opposé de AB est CO. Montrons CO = 2.
CO = |[tex]z_O - z_C[/tex]| = |[tex]0 - 2i[/tex]| = [tex]\sqrt{(-2)^2} = 2[/tex]
Ainsi, BO = AC et AB = CO donc les cotés opposés sont égaux. OBAC est donc un losange.
Bonne journée
