Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
a) U(0)=1600
b)
Une valeur qui diminue de 10% est multipliée par (-10/100)=0.9.
Donc d'une année sur l'autre , le nb d'oiseaux est multiplié par 0.9 , nb auquel il faut rajouter 100 nouveaux oiseaux. Donc :
U(n+1)=0.9*U(n)+100
c)
n..........U(n)
0.. 1600
1.. 1540
2.. 1486
3.. 1437
4.. 1394
5.. 1354
6.. 1319
7.. 1287
Suite décroissante.
2)
a)
V(n)=U(n)-1000
V(n+1)=U(n+1)-1000 ==>mais U(n+1)=0.9*U(n)+100 donc :
V(n+1)=0.9 x U(n)+100-1000
V(n+1)=0.9 x U(n)-900
On met 0.9 en facteur :
V(n+1)=0.9[U(n)-1000] ==> car 0.9 x (-1000)=-900
Mais U(n)-1000=V(n) donc :
V(n+1)=0.9 x V(n)
qui prouve que la suite (V(n)) est une suite géométrique de raison q=0.9 et de 1er terme V(0)=U(0)-1000=1600-1000=600.
b)
Le cours dit :
V(n)=V(0) x q^n ( q à la puissance "n").
V(n)=600 x 0.9^n
Mais U(n)=V(n)+1000 donc :
U(n)=600 x 0.9^n+1000
c)
On résout :
600 x 0.9^n +1000 < 1100
0.9^n < 100/600
0.9^n < 1/6
Si tu as vu la fct ln(x) , tu continues comme moi , sinon tu tâtonnes avec la calculatrice.
ln(0.9^n) < ln(1/6)
n x ln(0.9) < ln (1/6)
n > ln(1/6)/ln(0.9) ===>On change < en > car ln(0.9) est négatif.
n > 17.005...
Donc à partir de l'année : 2018+18=2036
d)
U(n)=600 x 0.9^n +1000
lim 0.9^n=0 car -1 < 0.9 < 1
n--->+∞
lim U(n)=600 x 0 +1000=0+ 1000=1000
n--->+∞
Le nombre d'oiseaux tend vers 1000 mais ne descendra jamais sous la barre des 1000.
