Réponse :
1) construire le tableau de variation de g
g(x) = - 1/3) x³ + 1/2(9 - 7) x² + 9*7 x
g est une fonction polynôme dérivable sur R est sa dérivée g' est :
g '(x) = - x² + (9 - 7) x² + 9*7
g '(x) = - x² + 2 x + 63
Δ = 4 + 252 = 256 > 0 ⇒ 2 racines ≠ et √256 = 16
x1 = - 2 + 16)/-2 = - 7
x2 = - 2 - 16)/- 2 = 9
le signe de g '(x) est :
x - ∞ - 7 9 + ∞
signe - 0 + 0 -
de g '(x)
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variations + ∞→→→→→→→→ -833/3 →→→→→→→→→→ 405→→→→→→→→→→ - ∞
de g(x) décroissante croissante décroissante
2) déterminer les extremums de la fonction g
les extremums de la fonction g sont :
. minimum : g(- 7) = - 833/3
. maximum : g(9) = 405
3) comment est l'allure de la courbe de la fonction
entre ]- ∞ ; 9] la courbe de g est tournée vers le haut∞ et entre [9 ; + ∞[
la courbe de g est tournée vers le bas
4) quelles sont les coordonnées du centre de symétrie I de la courbe C
(le milieu des extremums))
m(- 7 ; - 833/3) M(9 ; 405)
I((9-7)/2 ; (405 - 833/3)) = (1 ; 382/3)
5) quelle est l'équation de la tangente en x = - 3 à la courbe de la fonction g
y = g(-3) + g '(- 3)(x + 3)
g(- 3) = - 1/3)*(- 3)³ + (- 3)² + 63*(-3)
= 9 + 9 - 189
= - 171
g '(- 3) = - (- 3)² + 2(-3) + 63 = - 9 - 6 + 63 = 48
donc y = - 171 + 48(x + 3) = - 171 + 48 x + 144 = 48 x - 27
l'équation de la tangente à C en x = - 3 est : y = 48 x - 27
6) A l'aide de la machine à calculer, trouver les racines de la fonction g (2 décimales)
g(x) = - 1/3) x³ + x² + 63 x = 0
x(- 1/3) x² + x + 63) = 0
Δ = 1 + 4*1/3* 63 = 85 ⇒ √85 ≈ 9.22
x1 = - 1 + 9.22)/- 2/3 = - 13.83
x2 = - 1 - 9.22/- 2/3 = 15.33
on a 3 racines x = 0 ; x = - 13.83 et x = 15.33
Explications étape par étape :