Réponse :
1) calculer les coordonnées des points I, E et F
I milieu de (BC) ⇒ I((6+1)/2 ; (- 2+1)/2) = (7/2 ; - 1/2)
E(x ; y) tel que vec(AE) = 1/3vec(AC)
vec(AE) = (x - 3 ; y - 4)
vec(AC) = (6-3 ; -2-4) = (3 ; - 6) ⇒ 1/3vec(AC) = (1 ; - 2)
(x - 3 ; y - 4) = (1 ; - 2) ⇔ x - 3 = 1 ⇔ x = 4 et y - 4 = - 2 ⇔ y = 2
E(4 ; 2)
F(x ; y) tel que vec(CF) = 1/3vec(CA)
vec(CF) = (x - 6 ; y + 2)
vec(CA) = (3 - 6 ; 4+2) = (- 3 ; 6) ⇒ 1/3vec(CA) = (- 1 ; 2)
(x - 6 ; y + 2) = (- 1 ; 2) ⇔ x - 6 = - 1 ⇔ x = 5 et y +2 = 2 ⇔ y = 0
F(5 ; 0)
2) les vecteurs BE et IF sont-ils colinéaires ? justifier
vec(BE) = (4 - 1 ; 2 - 1) = (3 ; 1)
vec(IF) = (5 - 7/2 ; 1/2) = (3/2 ; 1/2)
det(vec(BE) ; vec(IF)) = xy' - x'y = 3*(1/2) - 3/2* 1 = 0
les vecteurs BE et IF sont donc colinéaires
3) puisque les vecteurs BE et IF sont colinéaires, donc les droites (BE) et (IF) sont parallèles
4) vec(AD) = (5 ; - 3)
vec(BC) = (5 ; - 3)
vec(AD) = vec(BC) ⇒ ABCD parallélogramme
5) vec(AC) = (3 ; - 6) ⇒ ||AC||² = 3²+(-6)² = 45 ⇒ ||AC|| = √45 = 3√5
vec(AB) = (- 2 ; - 3) ⇒ AB² = (-2)² + (- 3)² = 13
vec(BC) = (5 ; - 3) ⇒ BC² = 5² + (-3)² = 34
AB² + BC² = 13 + 34 = 47 ≠ AC² donc ABCD n'est pas un rectangle
7) vec(ID) = (8-7/2 ; 1+1/2) = (9/2 ; 3/2)
vec(IF) = (3/2 ; 1/2)
det(vec(ID) ; vec(IF)) = xy' - x'y = 9/2)*1/2 - 3/2)*3/2 = 9/4 - 9/4 = 0
Les vecteurs ID et IF sont colinéaires donc les points I , F et D sont alignés
Explications étape par étape :
