Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
On va calculer d'abord la dérivée :
f(x)=(x²+3x+9)/3x est de la forme u/v avec :
u=x²+3x+9 donc u'=2x+3
v=3x donc v'=3
f '(x)=(u'v-uv')/v²
f '(x)=[3x(2x+3)-3(x²+3x+9)]/(3x)²
Je te laisse développer et trouver à la fin :
f '(x)=3(x²-9)/9x²
f '(x)=(x²-9)/3x² ou f '(x)=(x-3)(x+3)/3x
a)
FAUX
On résout f '(x)=0 soit :
x²-9=0
x²=9
x=-3 OU x=3
Tgte horizontale en x=3 sur ]0;+∞[
b)
VRAI.
f '(x) est du signe de (x²-9) qui est négatif entre ses racines donc variation de f(x) :
x----->0..................+3.............+∞
f '(x)->||........-..........0.......+........
f(x)-->||.........D......?.........C......
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte .
c)
FAUX
f '(x)=(x²-9)/3x OU f '(x)=(x-3)(x+3)/3x
d)
FAUX
Voir tableau ci-dessus :
f (x) < 0 pour x ∈ ]0;3] .
e)
VRAI
xA=6
f(6)=(6²+18+9)/18=63/18=7/2
f '(6)=(6²-9)/(3*6²)=27/108=1/4
Tgte en A :
y=(1/4)(x-6)+7/2
y=(1/4)x-3/2+7/2
y=(1/4)+2
f)g)
Pour D au-dessus de C , on résout :
-(2/3)x+5 > (x²+3x+9)/3x soit :
(x²+3x+9)/3x+ (2/3)x-5 < 0
On réduit au même dénominateur qui est 3x :
(x²+3x+9x+2x²-15x)/3x < 0
(3x²-12x+9) 3x < 0
(x²-4x+3)/3x < 0
Il faut faire un tableau de signes .
(x²-3x+3) est < 0 entre ses racines qui sont x=1 et x=3.
x------------------>0..................1............3.............+∞
(x²-4x+3)------>...........+.........0.....-.....0.......+.........
3x---------------->..........+..............+.................+.........
(x²-3x+3)/3x---->.........+.......0.......-....0.........+.........
D est au-dessus de C pour x ∈]1;3[ et au-dessous pour :
x∈]0;1[ U ]3;+∞[
Voir graph joint.
