Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
a)
(AH) // (H'B)
Tu dis pourquoi les 2 triangles BH'O et AHO sont dans une configuration de Thalès . Ce qui permet d'écrire :
OH'/OH=OB/OD
Tu dis pourquoi les 2 triangles BOM et DOA sont dans une configuration de Thalès . Ce qui permet d'écrire :
OB/OD=BM/DA mais DA=1 et BM=x donc :
OB/OD=x
Donc :
OH'/OH=x soit :
OH'=x*OH
c)
Par construction :
OH'+OH=AB=2
Comme OH'=xOH , on arrive à :
xOH+OH=2
OH(x+1)=2
OH=2/(x+1)
OH'=xOH donne :
OH'=2x/(x+1)
2)
a)
M se déplace sur [BC] donc 0 ≤ x ≤ 1.
Df=[0;1]
b)
Aire AOD=AD*OH/2=[1*2/(x+1)] / 2=1/(x+1)
Aire BOM=BM*OH'/2=[x*2x/(x+1)] /2=x²/(x+1)
Donc :
f(x)=1/(x+1) + x²/(x+1)
f(x)=(x²+1)/(x+1)
c)
Tu rentres la fct f(x) dans ta calculatrice avec :
DebTable=0
PasTable=0.1
Et tu remplis ton tableau.
d)
Voir graph joint .
f(x) est minimale donc la somme des 2 aires est minimale pour x ≈ 0.4 .
Je ne sais pas s'il fallait étudier la variation de f(x) mais il semble que tu connaisses les dérivées.
f(x) est de la forme u/v avec :
u=x²+1 donc u'=2x
v=x+1 donc v'=1
f '(x)=(u'v-uv')/v²
f '(x)=[2x(x+1)-(x²+1)] / (x+1)²
f '(x)=(x²+2x-1)/(x+1)²
f '(x) est du signe de : x²+2x-1 qui est < 0 entre ses racines.
Δ=b²-4ac=2²-4(1)(-1)=8
√8=√(4 x 2)=2√2
x1=(-2-2√2)/2=-1-√2 < 0
x2=-1+√2 ≈ 0.414
Variation de f(x) :
x--------->0.............-1+√2.................1
f '(x)---->........-..........0............+.......||
f(x)----->.........D.........?.........C..........||
D=flèche qui descend et c=flèche qui monte.
Ce tableau montre que f(x) passe par un minimum pour x=-1+√2 soit x=√2-1.
Je viens de voir que tu as déjà envoyé cet exo avec une réponse partielle !! Je n'aime pas trop ça !! Tu aurais dû le signaler.
On te demande donc la valeur exacte de l'aire minimale :
f(√2-1)=[(√2-1)²+1]/(√2-1+1)=(2-2√2+1+1)/√2=(4-2√2)/√2
On fait disparaître la racine au déno en multipliant par √2/√2 qui vaut 1 donc ne change pas la valeur :
f(√2-1)=√2(4-2√2)/2=(4√2-4)/2
f(√2-1)=2√2-2
