1
a : limg(x) x -> 0, x> 0 = - linfini
b : g(1) = 1
c : g'(1) = 1
2 a :
g(1) = a + b
g'(x) = 1/x - a/x² -2b/x³
donc g(1) = 1 - a - 2b
2 b :
d'après les réponse obtenu aupravant, on a le système :
a + b = 1
1 - a - 2b = 1
cela nous donne : a = 2 et b = -1
3 a :
ln(x) + 2/x - 1/x² = ln(x) + (2x -1)/x²
lim ln(x) quand x tend vers 0, x > 0 = -linfini
lim (2x-1)/x² quand x tends vers 0, x> 0 = -linfini
donc lim ln(x) + (2x-1)/x² quand x tends vers 0, x> 0 = -linfini
------------
lim ln(x) quand x tend vers + linfini = + linfini
lim 2/x quand x tend vers + linfini = 0
lim -1/x² quand x tend vers + linfini = 0
donc lim ln(x) + 2/x - 1/x² quand x tends vers + linfini = + l'infini
3 b :
g'(x) = 1/x - 2/x² + 2/x³ = (x² - 2x + 2)/x³
tu fais tableau de variation de 0 en + l'infini
1e ligne : | x² - 2x + 2 | + |
2e ligne: | x³ | + |
et en 3e ligne tu mets g'(x) et tu mets une double barre en 0 et un +
en 4e ligne tu mets g(x) avec une flèche qui monte. en bas à gauche de la flèche tu écris - l'infini et en haut à droite tu mets + l'infini
3 c :
g dérivable donc continue.
d'après tableau de variation et le TVI, strictement croissant de - l'infini a + l'infini donc il existe un alpha tel que g(alpha) = 0
alpha = environ 0,59
3 d :
g(alpha) = 0
donc entre 0 et alpha, g est négative
entre alpha et + l'infini, g est positive
