Bonjour,
1. Pour déterminer le coefficient directeur d'une fonction affine dont on a deux points A et B, on utilise la formule : [tex]\frac{y_B - y_A}{x_B-x_A}[/tex]
Ici, on a A(0;-4) et B(2;3)
Donc le coefficient directeur de f vaut [tex]\frac{3-(-4)}{2-0} = \frac{7}{2}[/tex]
2. Le coefficient directeur de la fonction f est positif, donc f est croissante sur R.
3. On cherche une expression de f, qui est une fonction affine de la forme f(x) = ax+b
On sait que le coefficient directeur vaut [tex]\frac{7}{2}[/tex]
Donc f(x) = [tex]\frac{7}{2}[/tex]x + b
Pour trouver la valeur de b, on remplace x et f(x) par les coordonnées de A ou B. Prenons A, on a x = 0 et f(0) = -4
Donc b = -4
Au final on a f(x) = [tex]\frac{7}{2} x -4[/tex]
On cherche x tel que [tex]\frac{7}{2} x -4[/tex] s'annule
On résout :
[tex]\frac{7}{2} x - 4 = 0[/tex]
[tex]\frac{7}{2} x = 4[/tex]
[tex]x = \frac{8}{7}[/tex]
Comme f est croissante, f est négative sur ]-∞; [tex]\frac{8}{7}[/tex]] et positive sur [[tex]\frac{8}{7}[/tex];+∞[
4. On a f(1) = [tex]\frac{7}{2} \times 1 - 4 = \frac{7}{2} - 4 = \frac{-1}{4}[/tex]
L'image de 1 par f est [tex]\frac{-1}{4}[/tex]
On a f(x) = 1 pour [tex]\frac{7}{2} x- 4 = 1[/tex]
Donc [tex]\frac{7}{2} x = 5[/tex]
[tex]x = \frac{10}{7}[/tex]
L'antécédent de 1 par f est [tex]\frac{10}{7}[/tex]
On voit que f([tex]\frac{10}{7}[/tex]) > f(1) avec [tex]\frac{10}{7} > 1[/tex] ce qui est conforme au fait que f est croissante. (Question 2.)
Pour x = 1, x < [tex]\frac{8}{7}[/tex], f(1) = [tex]\frac{-1}{4}[/tex] < 0 f est négative pour x inférieur à [tex]\frac{8}{7}[/tex]
Pour f(x) = 1 > 0, on a x = [tex]\frac{10}{7}[/tex] > [tex]\frac{8}{7}[/tex], f est positive pour x supérieur à [tex]\frac{8}{7}[/tex], ce qui est conforme au fait que f est négative sur ]-∞; [tex]\frac{8}{7}[/tex]] et positive sur [[tex]\frac{8}{7}[/tex];+∞[. (Question 3.)
