bonjour je suis en première spé maths et je n’arrive pas à faire l’exercice suivant (c’est un dm) ;

Sur le cercle trigonométrique C ci-contre, M est le point associé
au réel pi/5. La bissectrice de l'angle OMA coupe [0A] en J.

1. Quelle est la mesure en degré de l'angle AOM ? Justifier.

2. Démontrer que les triangles OJM et JMA sont isocèles.

3. Dans le triangle JMA, le point J est le pied de la hauteur issue de M.
-->Démontrer que HA = 1-cos(pi/5) et en déduire que OJ = 2cos(pi/5)= -1.

4. Dans le triangle OJM le point R est le pied de la hauteur issue de J.
On donne OR = 1/2OM (cette égalité est toujours vraie dans un triangle isocèle)
Démontrer que OJ=1/2cos(pi/5).

5. a) Déduire des deux questions précédentes que 4cos^2(pi/5) - 2cos(pi/5) - 1 = 0.
cos(pi/5) est donc une racine d'un polynôme du second degré, lequel ?

b) Donner les deux racines de ce polynôme.

c) Laquelle est la valeur exacte de cos(pi/5). Justifier.

2) Le triangle AOM est isocèle car AO = OM. En effet O est le centre du cercle et les points A et M sont sur le cercle. Les angles OMA et MAO sont égaux. On sait d'aprés le 1) que l'angle AOM = PI/5, donc les angles 0MA = A0M = PI - PI/5 - 2OMA

5*PI/5 - PI/5 - 2OMA = 5*PI/5 - PI/5 - 2OMA

4*PI/5 = 2OMA

4*PI/10 = OMA

2*PI/5 = OMA

donc OMA = AOM = 2*PI/5

La bissectrice de l'angle OMA coupe [0A] en J et OMJ = OMA/2 donc OMJ = (2*PI/5) /2 = (2*PI/5) /2 = (2*PI/5) * (1/2) = PI / 5

OMJ = PI / 5 et JMA= PI / 5

puisque AOM = PI/5, OMJ = PI / 5 et JMA= PI / 5 il en vient que

que le triangle OJM est isocèle.

CQFD

3) Erreur dans l’énoncé, c'est le point H est le pied de la hauteur issue de M.

OA=1 et OM =1 puisque la norme du rayon du cercle trigonométrique=1

OH= OM * cos(PI/5)

OH + HA = OA

1 * cos(PI/5) + HA = 1 donc

HA = 1 - cos(PI/5)

CQFD

Dans le 2) on a démontré que JMA est isocèle, mais on sait qu'un triangle JMA isocèle en M possède un axe de symétrie : c’est la médiatrice de [MH] qui coupe [JA] en deux parties égales. Ce qui veut dire que JH = HA

et HA+ HA = JA

JA = 2*(1 - cos(PI/5) )

OJ = OA - JA

OJ = 1 - ( 2 - 2cos(PI/5) ))

OJ = 1 - 2 + 2cos(PI/5) )

OJ = 2cos(PI/5) ) - 1

CQFD

Tu as une erreur dans l'énoncé ... en déduire que OJ = 2cos(pi/5)= -1.

4)

Le triangle OJM est isocèle d'apres 2). La hauteur JR est aussi la médiane relative à [OM] qui est aussi la médiatrice. OR = ½*OM

et OM = 1 donc OR=1/2

Angle ROJ = cos(PI/5) = OR/OJ

cos(PI/5) = 1/2/OJ

cos(PI/5) = 1/(2*OJ)

2 * OJ * cos(PI/5) = 1

OJ = 1 / ( 2 * cos(PI/5))

CQFD

5)

sur les 2 questions précédentes nous avons trouvé 2 solutions pour OJ :

OJ = 2cos(PI/5) - 1 et

OJ = 1 / ( 2cos(PI/5))

donc :

2cos(PI/5) - 1 = 1 / ( 2cos(PI/5))

2cos(PI/5) * ( 2cos(PI/5) - 1 ) = 1

4cos²(PI/5) - 2cos(PI/5) = 1

4cos²(PI/5) - 2cos(PI/5) - 1 = 0

CQFD

b)

Posons un changement de variable X = cos(PI/5), ce qui donne :

4X² - 2X - 1 = 0. Pour la solution tu appliques la solution d'une équation du second degé par le discrimnant delta. Je trouve

S = { (1 - √5)/2, (1 + √5)/2}

Mais cos(PI/5) est > 0 voir l'abscisse du cercle trigonométrique.

c)

Donc la seule solution est S = (1 + √5) / 2

Le sujet est terminé.

Bon courage pour étudier la solution.

Sagot :

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