Réponse :
bonsoir
Explications étape par étape :
Si on trace sur un repère orthonormé et par simple calcul mental la parabole y=x²+4 et l'hyperbole y=8/x on voit qu'i n'y a qu'un seul point d'intersection des deux courbes pour un valeur "alpha" avec 1<alpha<2
1)Les abscisses des points d'intersection des deux courbes sont les solutions de l'équation x²+4=8/x avec x différent de 0
soit (x³+4x-8)/x=0
Un quotient est nul si son dividende est nul avec diviseur non nul.
Recherchons les solutions de x³+4x-8=0
Comme il n'y a pas solution évidente étudions la fonction f(x)=x³+4x-8 sur R
limites si x tend vers -oo, f(x) tend vers -oo
si x tend vers +oo, f(x tend vers +oo
Dérivée f'(x)=3x²+4 elle est toujours >0
Donc f(x) est croissante .
f(-oo)=-oo et f(+oo)=+oo Compte tenu de la monotonie et de la continuité de f(x) sur R et d'après le TVI, il existe une et une seule valeur "alpha" telle que f(alpha)=0
2) f(1)=1+4-8=-3 et f(2)=8+8-8=+8
donc 1<alpha<2
3et 4) Avec ta calculatrice resserre l'encadrement de alpha