Exercice 2.2 :
1/ en +infini :
a/ [tex]\lim_{x\mapsto\infty} x+x^2 = +\infty[/tex]
car la somme de deux fonctions qui tendent vers +infini tend toujours vers +infini
b/ [tex]\lim_{x\mapsto\infty}x+\ln^2(x)= +\infty[/tex]
car [tex]\lim_{x\mapsto\infty} x = +\infty[/tex] et [tex]\lim_{x\mapsto\infty}\ln^2{x} = +\infty[/tex]
par somme de deux fonctions qui tendent vers +infini, la fonction b tend toujours vers + infini
c/ [tex]\lim_{x\mapsto\infty}x+e^x=+\infty[/tex]
car [tex]\lim_{x\mapsto\infty} x =+\infty[/tex] et [tex]\lim_{x\mapsto\infty}e^x=+\infty[/tex]
par somme de deux fonctions qui tendent vers +infini, la fonction c tend toujours +infini
2/ en 0 :
a/ On a :
[tex]\lim_{x\mapsto0} x = 0[/tex] et [tex]\lim_{x\mapsto0}\sqrt{x} = \sqrt{0} =0[/tex]
Donc par somme : [tex]\lim_{x\mapsto0}x+\sqrt{x} =0+0=0[/tex]
b/ On a :
[tex]\lim_{x\mapsto0}\frac{1}{x}+\ln(x)=[/tex] Forme indeterminée car
[tex]\lim_{x\mapsto0}\frac{1}{x} =+\infty[/tex] et [tex]\lim_{x\mapsto0}\ln(x)=-\infty[/tex] Donc par somme de deux fonctions qui tendent vers deux nombres infinis de signes opposés, la limite en 0 est indeterminée
c/ On a :
[tex]\lim_{x\mapsto0} x+\ln^2(x)= -\infty[/tex]
Exercice 2.3 :
a/ Il faut factoriser par x^2 ce qui donne :
[tex]\frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+3}{\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}+1} = \frac{0+0+3}{2*0+0+1}=3[/tex]
b/ Il faut factoriser par x ce qui nous donne :
[tex]\frac{x(1+x)}{x(2+x)} = \frac{1+x}{2+x}=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}[/tex]
c/ il faut factoriser par x ce qui nous donne :
[tex]\frac{2+\frac{1}{x} }{\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1 } }=\frac{2+0}{\sqrt{0+0+1} } =2[/tex]
