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J’ai un dm de maths aidez moi svp je n’arrive pas a comprendre

La fonction f est définie sur l’intervalle [–2 ; 6] par : f(x) = 0,5x au cube– 3x au carré+ 8. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1. a) Calculer f prime de (x) ; b) Étudier le signe de f prime puis dresser le tableau de variations de f sur [–2 ; 6] ; c)
déterminer une équation de la tangente T au point d’abscisse 2 de la courbe C.
2. Soit g la fonction définie sur [–2 ; 6] par : g(x) = f(x) – (–6x + 12).
a) Justifier que g est croissante sur [–2 ; 6] ; b) Calculer g(2) et en déduire le signe de g(x) sur [–2 ; 6].
3. Sur quel intervalle a-t-on f(x) ≥ –6x + 12 ? Qu’en déduit-on pour la courbe C et la tangente T ?

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

Il est plus simple d'envoyer une photo de l'énoncé !!

1)

a)

f(x)=0.5x³-3x²+8

f '(x)=1.5x²-6x

b)

f '(x) est < 0 entre ses racines.

1.5x²-6x=0

1.5x(x-4)=0

1.5x=0 OU x-4=0

x=0 OU x=4

Variation :

x-------->-2............0.................4...................6

f '(x)--->...........+.....0....-...........0.......+..........

f(x)---->-8......C......8.......D......-8......C........8

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

c)

y=f '(2)(x-2)+f(2)

f '(2)=1.5 x  2² - 6 x 2=-6

f(2)=0

y=-6(x-2)+0

y=-6x+12

2)

a)

g(x)=0.5x³-3x²+8+6x-12

g(x)=0.5x³-3x²+6x-4

g '(x)=1.5x²-6x+6

g '(x)=1.5(x²-4x+4)

g '(x)=1.5(x-2)²

g '(x) est donc toujours ≥ 0 donc :

g(x) est toujours croissante.

b)

g(2)=0

Donc g(x) qui est strictement croissante passe de valeurs négatives pour x < 2 à des valeurs positives pour x >  2 :

x------>-2..................2...............6

g(x)--->-32.....-........0........+.....32

3)

Sur [2;6] , g(x) ≥ 0 donc :

f(x)-(-6x+12) ≥ 0 donc :

f(x) ≥ -6x+12

Donc :

Sur ]2;6] , C est au-dessus de sa tangente.

Voir graph joint.

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