Réponse :
justifier que l'aire du triangle MNP est donnée par :
A(x) = 8 - 1/2(x - 4)²
(NP) // (BD) ⇒ th.Thalès on a, CN/CD = CP/CB
⇔ x/8 = CP/4 ⇔ CP = 4 x/8 ⇔ CP = x/2
l'aire du trapèze AMND est : A1 = (x + (8 - x))/2)* 4 = 16 cm²
l'aire du triangle CNP est : A2 = 1/2((1/2) x * x) = x²/4
l'aire du triangle BNP est : A3 = 1/2((4 - x/2)*(8 - x)
= 1/2(32 - 8 x + x²/2)
= 16 - 4 x + x²/4
l'aire du triangle MNP est :
A(x) = 32 - (16 + x²/4 + 16 - 4 x + x²/4)
= 32 - (32 - 4 x + x²/2)
A(x) = 4 x - x²/2
= - x²/2 + 4 x
= - 1/2(x² - 8 x)
= - 1/2(x² - 8 x + 16 - 16)
= - 1/2((x - 4)² - 16)
A(x) = 8 - 1/2(x - 4)²
A(x) ≥ 6 ⇔ 8 - 1/2(x - 4)² ≥ 6 ⇔ 2 - 1/2(x - 4)² ≥ 0
⇔ 2 ≥ 1/2(x - 4)² ⇔ (x - 4)² ≤ 1 ⇔ (x - 4)² - 1 ≤ 0
⇔ (x - 4 + 1)(x - 4 - 1) ≤ 0 ⇔ (x - 3)(x - 5) ≤ 0
⇔ x ∈ [3 ; 5]
la résolution graphique : consiste à tracer la courbe de A(x)
et la la droite y = 6
La courbe de A a pour sommet S(4 ; 8) et coupe l'axe des abscisses en résolvant l'équation
8 - 1/2(x - 4)² = 0 ⇔ (x - 4)² - 4 = 0 ⇔ (x - 4 + 2)(x - 4 - 2) = 0
⇔ (x - 2)(x - 6) = 0
donc la courbe de A coupe l'axe des abscisses en x = 2 et x = 6
tu peux tracer aisément la courbe de A et la droite y = 6
les solutions du problème sont les abscisses de la courbe située au-dessus de la droite y = 6
on trouve graphiquement l'intervalle [3 ; 5]
Explications étape par étape :