Réponse :
Existe-t-il une tangente à la courbe C qui passe par le point de coordonnées (- 2 ; - 1) ?
y = 2 x/(1-x)
y' = (2(1 - x) - (- 2 x))/(1-x)²
= (2 - 2 x + 2 x)/(1 - x)²
y' = 2/(1 - x)²
soit a l'abscisse de point de tangente à la courbe C
l'équation de la tangente est :
y = y(a) + y '(a)(x - a)
y(a) = 2a/(1 - a)
y'(a) = 2/(1 - a)²
y = 2a/(1 - a) + [2/(1 - a)²](x - a)
= 2a/(1 - a) + [2/(1 - a)²] x - 2a/(1 - a)²
= 2/(1 - a)²] x - 2 a/(1 - a)² + 2a/(1 - a)
= 2/(1 - a)²] x - 2 a/(1 - a)² + 2a(1 - a)/(1 - a)²
y = 2/(1 - a)²] x - 2 a²/(1 - a)²
2/(1 - a)²] (-2) - 2 a²/(1 - a)² = - 1
- 4/(1 - a)²] - 2 a²/(1 - a)² = - 1
⇔ - 4/(1 - a)²] - 2 a²/(1 - a)² + 1 = 0
⇔ - 4/(1 - a)²] - 2 a²/(1 - a)² + (1 - a)² = 0
⇔ (- 4 - 2 a² + 1 - 2 a + a²)/(1 - a)² = 0
⇔ (- a² - 2 a - 3)/(1 - a)² = 0 a ≠ 1 et a ≠ - 1
⇔ - a² - 2 a - 3 = 0
Δ = 4 - 12 = - 8 < 0 ⇒ pas de racines
donc il n'existe pas de tangente à C passant par le point (-2;-1)
Explications étape par étape :
