Bonjour :))
[tex]\textbf{\underline{Exercice a).}}\\\\\ln(\frac{5x+1}{x-2})\le0\\\\\underline{Condition\ d'existence}:\ \frac{5x+1}{x-2}>0\ car\ ln(x)\ est\ d\'efinie\\\forall\ x>0.\ Donc,\ le\ domaine\ d'\'etude\ est\ ]-\infty;-\frac{1}{5}[\cup]2;+\infty[.\\\\\ln(\frac{5x+1}{x-2})\le0\\\\\Leftrightarrow \frac{5x+1}{x-2}\le e^{0}\\\\\Leftrightarrow \frac{5x+1}{x-2}-1\le0\\\\\Leftrightarrow \frac{4x+3}{x-2}\le0[/tex]
[tex]x-2\ s'annule\ pour\ x=2,\ positive\ ou\ nulle\ pour\ x\ge2\\et\ n\'egative\ ou\ nulle\ pour\ x\le2\\\\ATTENTION:\ 2\ est\ valeur\ interdite\ dans\ notre\ cas.\\\\4x+3\ s'annule\ pour\ x=-\frac{3}{4},\ positive\ ou\ nulle\ pour\ x\ge-\frac{3}{4}\\et\ n\'egative\ ou\ nulle\ pour\ x\le-\frac{3}{4}[/tex]
[tex]\frac{4x+3}{x-2}\le0\ pour\ x\in[-\frac{3}{4};2[\ mais\ cet\ ensemble\ n'est\ pas\\compl\`etement\ inclu\ dans\ le\ domaine\ d'etude\ ]-\infty;-\frac{1}{5}[\cup]2;+\infty[\\\\Donc\ \boxed{S=[-\frac{3}{4};-\frac{1}{5}[}[/tex]
[tex]\textbf{\underline{Exercice b).}}\\\\\ln(x^{2}+2x)-1>0\\\\\underline{Condition\ d'existence}:\ x^{2}+2x>0\ donc\ x(x+2)>0\\Le\ domaine\ d'\'etude\ est\ x\in]-\infty;-2[\cup]0;+\infty[\\\\\ln(x^{2}+2x)>1\\x^{2}+2x>e^{1}\\x^{2}+2x-e<0\\\\x_1=-1-\sqrt{1+e}\ \ \ \ et\ \ \ \ x_2=-1+\sqrt{1+e}\\On\ remarque\ que\ x_1,x_2\in domaine\ \'etude.\\\\\boxed{S=]-\infty;x_1[\cup]x_2;+\infty[}[/tex]
[tex]\textbf{\underline{Exercice c).}}\\\\6e^{x}-1\ge 3-4e^{x}\\10e^{x}\ge4\\e^{x}\ge \frac{4}{10}\\\\x\ge \ln(0,4)\\\\\boxed{S=[\ln(0,4);+\infty[}[/tex]
[tex]\textbf{\underline{Exercice d).}}\\\\3e^{2x}-9e^{x}<0\\\\\Leftrightarrow 3(e^{x})^{2}-9e^{x}<0\ \ \ \ On\ pose\ X=e^{x}\\\\\Leftrightarrow 3X^{2}-9X<0\\\\\Leftrightarrow 3X(X-3)<0\\\\X\in]0;3[[/tex]
0<X<3 ce qui donne 0<e^{x}<3 donc x < ln(3), on a donc : S=]-infini; ln(3)[
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Bonne continuation ;)
