Réponse :
Un = e⁻ⁿ/³ n ∈ N
3.1 démontrer que la suite (Un) est géométrique, et préciser sa raison
Un+1 = e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾/³ = e⁻ⁿ/³ ⁺⁽⁻ ¹/³⁾ = e⁻ⁿ/³ x e⁽⁻ ¹/³⁾ = e⁽⁻ ¹/³⁾x Un
donc la suite (Un) est une suite géométrique de raison q = e⁽⁻ ¹/³⁾
3.2 pour tout n ∈ N, on note Sn = ∑Uk = U0 + U1 + .... + Un
exprimer explicitement Sn en fonction de n
Sn = 1 x (1 - (e⁽⁻ ¹/³⁾)ⁿ⁺¹)/(1 - e⁽⁻ ¹/³⁾) U0 = e⁰ = 1
= (1 - e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾/³)/(e¹/³ - 1)/e¹/³)
= e¹/³(1 - e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾/³)/(e¹/³ - 1)
3.3 en déduire lim Sn = lim e¹/³(1 - e⁻⁽ⁿ⁺¹⁾/³)/(e¹/³ - 1)
n→ + ∞ n→ + ∞
on pose N = - (n+1)/3 lorsque n → + ∞ on a N → - ∞
donc lime^N = 0
n→ - ∞
donc lim Sn = (e¹/³)/(e¹/³ - 1)
n→ + ∞
Explications étape par étape :
