Bonjour
1) Le triangle UVW est rectangle en W
D’après le Th. De Pythagore, on a :
1^2 = a^2 + (1/2)^2
a = alpha et x^2 représente x au carré
Cela donne 1 = a^2 + 1/4
Soit 1 - a^2 = 1/4
2) a) AI = AD + 1/2 DC + a * DA (vecteurs)
Ce qui donne AI = AD - a * AD + 1/2 * AB
Ou encore AI = (1-a) * AD + 1/2 AB
D’un autre côté, on a :
AL = AB + 1/2 BC + a * AB
AL = 1/2 BC + (1+a) * AB
AL = 1/2 AD + (1+a) * AB
b) dans le repère (À;AD;AB), les coordonnés des vecteurs AI et AL sont :
AI(1-a ; 1/2) et AL(1/2 ; 1+a)
AI et AL sont colinéaires si et seulement si
det(AI ; AL) = 0
Ce qui équivaut (1-a) * (1+a) - 1/2 * 1/2 = 0
Ce qui équivaut (1-a) * (1+a) = 1/4
c) l’expression précédent peut être de skipper en 1 - a^2 = 1/4
On a donc A, I , L sont colinéaires si et seulement si 1 - a^2 = 1/4
Or nous avons démontré en question 1) que la dernière égalité est vraie.
On en conclut donc que les points AIJ sont colinéaires.
