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Sagot :

MICKA44

Salut ELO :)

[tex]\textbf{\underline{Question\ a)}}\\\\f(x)=5x-ln(1-3x)\ d\'efinie\ sur\ I=]-\infty;\frac{1}{3}[\\\\(ln(u))'=\frac{u'}{u}\ donc,\ la\ d\'eriv\'ee\ de\ ln(1-3x)\ est:-\frac{3}{1-3x}\\\\f'(x)=5-(-\frac{3}{1-3x})\\\\f'(x)=\frac{5(1-3x)}{1-3x}+\frac{3}{1-3x}\\\\f'(x)=\frac{5-15x+3}{1-3x}\\\\\boxed{\bf{f'(x)=\frac{-15x+8}{1-3x}}}[/tex]

[tex]p(x)=-15x+8\ est\ une\ fonction\ polynomiale\ de\ degr\'e\ 1\\q(x)=1-3x\ est\ une\ fonction\ polynomiale\ de\ degr\'e\ 1[/tex]

[tex]\textbf{\underline{Question b)}}\\\\Sur\ I=]-\infty;\frac{1}{3}[\ on\ sait\ que\ 1-3x>0\ donc\ q(x)>0\\\\Montrons\ le\ signe\ de\ p(x).\\\\-15x+8=0\\\boxed{\bf{x=\frac{8}{15}}}\\\\p(x)\ est\ de\ la\ forme\ ax+b\ avec\ a=-15<0\\\\\frac{8}{15}>\frac{1}{3}\\\\p(x)>0\ pour\ x<\frac{8}{15}\\\\Donc\ p(x)>0\ sur\ I\\\\\textbf{La\ fonction\ f'(x)\ est\ donc\ positive\ sur\ I.}[/tex]

N'hésite pas à me poser des questions, A++ :)

CROISIERFAMILY

Réponse :

Explications étape par étape :

■ f(x) = 5x - Ln(1 - 3x)   pour x < 1/3 .

■ dérivée f ' (x) = 5 - (-3)/(1-3x)

                         = 5 + 3/(1-3x)

                         = (5-15x + 3)/(1-3x)

                         = (8-15x)/(1-3x)

■ comme p(x) = (1-3x) est POSITIF

  la dérivée est POSITIVE si q(x) = 8-15x > 0

                                                             15x < 8

                                                                x < 8/15

                                                                x < 0,533...

    or on a x < 1/3 donc f ' (x) est TOUJOURS positive

    sur l' intervalle d' étude d' où la fonction f est

    TOUJOURS croissante sur l' intervalle d' étude !

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