Bonsoir :))
[tex]Fonction\ C:t\rightarrow y(t)\ tq\ 25y'+12y=300\\\\\Leftrightarrow 25y'=300-12y\\\Leftrightarrow y'=\frac{300-12y}{25}\\\Leftrightarrow \boxed{y'=-0,48y+12}[/tex]
[tex]D'apr\`es\ le\ cours\ sur\ les\ \'equations\ diff\'erentielles\ de\ premier\ ordre\\avec\ second\ membre\ constant,\ on\ a:\\\\y'=ay+b\ donne\ une\ solution\ y(x)=Ke^{ax}-\frac{b}{a}\\\\a=-0,48\\b=12\\\\y(t)=Ke^{-0,48t}-\frac{12}{-0,48}\\\boxed{y(t)=Ke^{-0,48t}+25}[/tex]
[tex]t=0,\ la\ batterie\ est\ compl\`etement\ d\'echarg\'ee.\\Donc\ y(0)=0\ (Condition\ initiale\ du\ probl\`eme)\\\\y(t)=Ke^{-0,48t}+25\\\\y(0)=Ke^{0}+25=0\\\Leftrightarrow K+25=0\\\Leftrightarrow \boxed{K=-25}\\\\Donc\ y(t)=-25e^{-0,48t}+25=\boxed{25(1-e^{-0,48t})}[/tex]
[tex]Rappel\ cours:\\ (uv)'=u'v+uv'\\(e^{u})'=u'e^{u}\\\\C(t)=25(1-e^{-0,48t})\\\\u=25\ et\ u'=0\\v= 1-e^{-0,48t}\ et\ v'=0,48e^{-0,48t}\\\\C'(t)=uv'=25*0,48e^{-0,48t}=\boxed{12e^{-0,48t}}\\\\La\ fonction\ f(x)=e^{x}\ est\ d\'efinie\ positive\ \forall\ x\in\mathbb R.\\e^{x}>0\ et\ e^{-x}>0\\\\C'(t)>0\\\\Voir\ ci\ joint\ tableau\ de\ variation\ pour\ C(t)[/tex]
[tex]Il\ existe\ \alpha\ un\ r\'eel\ tq\ C(\alpha)=20\\\\C(\alpha)=25(1-e^{-0,48\alpha})=20\\\\\Leftrightarrow 1-e^{-0,48\alpha}=0,8\\\Leftrightarrow e^{-0,48\alpha}=0,2\\\Leftrightarrow -0,48\alpha=ln(0,2)\\\\\Leftrightarrow \boxed{\alpha=\frac{ln(0,2)}{-0,48}\approx3,35}[/tex]
[tex]Si\ f(x)=e^{ax}\ alors\ sa\ primitive\ est\ F(x)=\frac{1}{a}e^{ax}\\\\C(t)=25(1-e^{-0,48t})=25-25e^{-0,48t}\\\\\int\limits {25-25e^{-0,48t}} \, dt=\int\limits {25} \, dt-\int\limits {25e^{-0,48t}} \, dt\\\\\int\limits {25-25e^{-0,48t}} \, dt=25t+\frac{1}{0,48}*25e^{-0,48t}\\\\\boxed{F(t)=25t+\frac{625}{12}25e^{-0,48t}}[/tex]
[tex]\frac{F(6)-F(0)}{6}=\frac{25*6+\frac{625}{12}e^{-0,48*6}-(25*0+\frac{625}{12}e^{0})}{6}\\\\\frac{F(6)-F(0)}{6}=\frac{150+\frac{625}{12}e^{-2,88}-\frac{625}{12}}{6}\\\\\frac{F(6)-F(0)}{6}\approx\boxed{16\ 807\ Watts}[/tex]
Pour réviser sous la forme d'une fiche de synthèse sur les équations différentielles avec second membre vues en terminale, je t'invite à consulter le lien suivant : https://nosdevoirs.fr/devoir/3748154
Espérant que ceci te conviendra, je reste à ta disposition pour d'éventuelles questions ! Bonne continuation :))
