Bonsoir,
Soit [tex]f[/tex] la fonction définie sur [tex]$\mathbb{R}$[/tex] par [tex]f(x)=(x-1)^{2} -16[/tex]
1) Développer [tex]f(x) [/tex] :
[tex]f(x)=(x-1)^{2} -16\\
= ((x^{2} )-2\times x\times 1+1^{2})-16\\
=x^{2} -2x+1-16\\
=x^{2} -2x-15[/tex]
2) Montrer que [tex]f(x) = (x-5)(x+3)[/tex] :
[tex]f(x)=(x-1)^{2} -16\\
=(x-1)^{2}-4^{2}\\
=(x-1-4)(x-1+4)\\
=(x-5)(x+3)[/tex]
3) Utiliser la méthode la plus adaptée pour répondre aux questions suivantes :
a) Déterminer l'image de 0.
[tex]f(x) = x^{2} -2x-15[/tex]
Donc : [tex]
f(0) = 0^{2}-2\times 0-15=-15[/tex]
-15 est l'image de 0.
b) Déterminer le ou les antécédents de 0.
[tex]f(x) = (x-5)(x+3)=0[/tex]
⇔ [tex](x-5)(x+3)=0[/tex]
Un produit de deux facteurs est nul SSI l'un des facteurs est nul.
SSI [tex]x-5=0 [/tex] ou [tex]x+3=0[/tex]
SSI [tex]x=5[/tex] ou [tex]x=-3[/tex]
Ainsi, 0 possède deux antécédents : 5 et -3.
c) Déterminer l'image de -15.
[tex]f(x)=(x-1)^{2} -16[/tex]
[tex]f(-15) = (-15-1)^{2}-16\\
=(-16)^{2}-16\\
=256-16\\
=240[/tex]
d) Déterminer le ou les antécédents de -15.
⇔ [tex]f(x)=x^{2} -2x-15=-15\\
x^{2} -2x=0\\[/tex]
⇔ [tex]x(x-2)=0[/tex]
Un produit de deux facteurs est nul SSI l'un des facteurs est nul.
SSI [tex]x=0[/tex] ou [tex]x-2=0[/tex]
SSI [tex]x=0[/tex] ou [tex]x=2[/tex]
Je te laisse faire les question e) et f) tout(e) seul(e).
Il suffit de réutiliser la méthode suivie pour les questions a), b), c) et d).
4) Le minimum de [tex]f[/tex] est -16 et est atteint en x = -1. On le sait en regardant la forme canonique de la fonction [tex]f[/tex].
En espérant t'avoir aidé.
