Réponse :
Bonsoir trace un repère orthonormé (H; AH;AC) garde un peu de place en haut car le point E se trouve environ 4cm pus haut que C. (unité 1cm)
Explications étape par étape :
Coordonnées des points H(0; 0); A(4,8; 0) et C(0;6,4)
le point B se trouve en dessous de H ; B(0; -3,6) car CB=10cm
le point J milieu de [AC] a pour coordonnées Xj=(xA+xC)/2=(4,8+0)/2=2,4
et yJ=(yA+yC)/2=(0+6,4)/2=3,2 J(2,4; 3,2)
1) fais la figure avec précision
2)Pourquoi j'ai dit que le repère (H; HA;HC) est orthonormé ? car le triangle AHC est un agrandissement de coefficient k=1,6 du triangle rectangle de côté 3,4,5
4,8=1,6*3; 6,4=1,6*4 et 8=1,6*5
AHC étant rectangle en H, le centre de son cercle circonscrit est le milieu J de l'hypoténuse AC donc HJ=JA=JC=8/2=4cm
3) La droite (AB) est tangente au cercle de centre J et de rayon JA si elle perpendiculaire au rayon de contact JA
On va déterminer les équations réduites des droites (AC) et (AB)
droite (AC) y=[(yC-yA)/(xC-xA)]x+yC=[6,4/(-4,8)]x+6,4=(-4/3)x+6,4
droite (AB) y=[(yB-yA) /(xB-xA)]x+yB=[-3,6/(-4,8)]x-3,6=(3/4)x-3,6
th: deux droites du plan sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficients directeurs=-1
on note que (-4/3)*(3/4)=-1
La droite (AB) est donc tangente au cercle
4)la tangente au cercle en H est la perpendiculaire à (HJ) passant par H
Equation de la droite (HJ) y=(3,2/2,4)x=(4/3)x
Equation de (HI); (HI) est perpendiculaire à (HJ) son coef directeur a=-1/(4/3)=-3/4
donc la droite (HI) y=(-3/4)x
I est l'intersection des droites (HI) et (AB) donc xI est la solution de
(3/4)x-3,6=-(3/4)x soit(3/2)x=3,6 donc xI=2,4
si xI =2,4, yI=(-3/4)2,4=-1,8 coordonnées de I(2,4; -1,8)
on note que le projeté orthogonal de I sur [HB] est le milieu de [HB] donc I appartient à la médiatrice de [HB] par conséquent le triangle BIH est isocèle en I.
5) Si (BK) est parallèle à (HJ) ces deux droites ont le même coefficient directeur l'équation de (BK) est y=(4/3)x-3,6
K étant l'intersection de (BK) et (AC)
xK est la solution de (4/3)x-3,6=(-4/3)x+6,4
(8/3)x=10
xK=30/8=15/4=3,75
yK=(4/3)xK-3,6=(4/3)(15/4)-3,6=5-3,6=1,4 coordonnées de K(3,75; 1,4)
Ayant les coordonnées de A; B; et K on peut calculer les mesures de AK et BK
AK=V[(xA-xK)²+(yA-yK)²]=V(1,05²+1,4)²=1,75cm
BK=V[(xK-xB)²+(yK-yB)²]=V(3,75²+5²)=6,25 cm
6) CD=2,5cm
a) les points I et J ont la même abscisse x=2,4 ils sont donc sur la droite x=2,4 droite qui est // à l'axe des ordonnées (BC)
les droites (IJ) et (BC) sont //
b)DJ=CJ-CD=4-2,5=1,5
Déterminons les coordonnées de D. Soit M le projeté orthogonal de D sur [HC] et appliquons le Th de Thalès aux triangles CMD et CHA
on a CM/CH=MD/HA=CD/CA
MD=xD donc xD=HA*CD/CA=4,8*2,5/8=1,5
CM= CH*CD/CA=6,4*2,5/8=2cm donc yD=6,4-2=4,4
cordonnées de D(1,5; 4,4)
Equation de (BD) y=[(yD-yB)/(xD-xB)-3,2=(8/1,5)x- 3,2
E appartient à la droite(IJ)donc xE=2,4 et yE=(8/1,5)*2,4-3,2=9,6
coordonnées de E(2,4; 9,6)
EJ=yE-yJ=9,6-3,2=6,4cm
c) les droites (CE) et (AI) sont // si elles ont le même coefficient directeur
pour (AI) a=3/4
pour (CE) a=(yE-yC)/(xE-xC)=(9,6-6,4)/2,4=3,2/2,4=4/3
(CE) et (AI) ne sont pas //
