Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir, exercice très astucieux, notamment la 1re question, il faut, en quelque sorte, "visualiser".
1- En premier lieu, pour étudier un maximum ou un minimum d'une fonction, il faut préalablement étudier ses variations, autrement dit, utiliser sa dérivée, sous condition qu'elle soit dérivable. Les maximums / minimums seront localisés, par les valeurs qui annulent la dérivée.
Ici, s'agissant d'un polynôme de degré 4, ta fonction g est dérivable pour tout réel x.
Par conséquent, pour tout x réel, on détermine :
[tex]g'(x) = -4x^3 + 12x^2 - 12x + 4 = -4*(x^3 - 3x^2 + 3x - 1)[/tex]
A cet instant t, comment peux-tu procéder ? Il te faudrait f'(x) = 0. Ici, 2 possibilités, soit tu trouves la méthode astucieuse, soit la méthode "classique".
---> Classique : Pour annuler g'(x), tu peux tenter quelques valeurs aléatoirement simples pour x, tu observeras vite que si x = 1, g'(x) = 0.
Ensuite, l'énoncé indique qu'il existe un unique maximum, donc x = 1 devrait être la seule valeur, telle que g'(x) = 0.
Encore faut-il le prouver... pour cela, il te faudra factoriser par x - 1, tu obtiendras, par identification des coefficients, un trinôme du 2nd degré, puis tu pourras conclure. Méthode lourde !
---> Astucieuse : Connaître ses identités remarquables ! Tu visualises assez rapidement que x = 1 fonctionne. Ensuite, tu observes une alternance de signe + et -, des facteurs 3, là, si on se remémore :
[tex](a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3[/tex]
Une curieuse analogique, remplaçons a par x, et b par 1, pour voir :
[tex](x-1)^3 = x^3 -3x^2 + 3x - 1[/tex]
Et, c'est gagné. On peut conclure, en réécrivant la dérivée :
[tex]g'(x) = -4*(x-1)^3[/tex]
Par conséquent, il n'existe qu'une seule valeur qui annule la dérivée, x = 1.
TOUTEFOIS, attention. La dérivée d'une fonction peut s'annuler, sans qu'il n'y ait de de maximum ou de minimum, c'est le cas de la fonction x^3.
Pour affirmer totalement l'existence d'un maximum / minimum, il faut aussi prouver que la courbe, change de variations à ce moment précis, ce qui n'est pas de la fonction x^3, puisqu'elle est croissante de - infini à + infini.
Méthode pour conclure :
---> Classique : On étudie le signe de g'(x), pour obtenir les variations de g, tu verras qu'elle sera strictement croissante de - infini à 1, puis décroissante de 1 à + infini. Tu concluras que 1 est un maximum, unique.
On peut le faire rapidement :
[tex]g'(x) = -4*(x-1)^3 = -4*(x-1)*(x-1)^2[/tex]
(x-1)² est toujours positif, on étudiera donc le signe de -4(x-1). Lorsque x > 1, x - 1 > 0, mais avec le facteur -4, on change le signe. (tu peux faire un tableau de signes)
Ainsi, g'(x) > 0 si x > 1, et inversement, g'(x) < 0 si x < 1.
Conclusion : g est croissante, puis décroissante, donc un unique maximum en x = 1.
En outre, g(1) = -1 + 4 - 6 + 4 + 10 = 11.
Le maximum de g est donc situé en x = 1, d'ordonnée 11.
Récapitulatif : Pour prouver qu'une fonction admet un maximum :
---> Déterminer les valeurs qui annulent la dérivée.
---> Prouver, en étudiant le signe de la dérivée, que la courbe change de variations lorsque la dérivée s'annule.
2- Aucune difficulté, un point où la tangente est horizontale, équivaut à trouver une valeur, telle que la dérivée s'annule.
On commence par étudier la dérivabilité de h. 1/x est dérivable pour tout réel x, sauf 0. Ainsi, h est dérivable pour tout réel x différent de 0.
Pour cet intervalle :
[tex]h'(x) = 1 - \frac{16}{x^2} = \frac{x^2 - 16}{x^2}[/tex]
[tex]h'(x) = 0 <==> x^2 - 16 = 0 <==> x^2 = 16 <==> x = 4, x= -4[/tex]
Conclusion : h admet 2 points où la tangente est horizontale, dont on peut déterminer les coordonnées :
Un situé au point d'abscisse -4, tel que h(-4) = -4 - 16/4 = -8
Et h(4) = 4 + 16/4 = 8.