Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
Tout en vecteurs :
AI=AM+MI ( Chasles)
AI=AD+DI
On ajoute membre à membre :
2AI=AM+AD+MI+DI mai MI=-DI donc :
2AI=AM+AD
2)
BN=BA+AN donc :
2AI.BN=(AM+AD)(BA+AN)
2AI.BN=AM.BA+AM.AN+AD.BA+AD.AN
(AM) ⊥ (AN) donc AM.AN=0
(AD) ⊥ (BA) donc AD.BA=0
Donc :
2AI.BN=AM.BA+AD.AN
2AI.BN=||AM|| x ||BA|| + ||AD|| x ||AN||
Mesure BA=mesure AD
Mesure AM=mesure AN
Mais les vecteurs AM et BA sont de sens contraires alors que les vecteurs AD et AN sont de même sens .
Donc :
||AM|| x ||BA|| = - ||AD|| x ||AN||
Donc :
2AI.BN=0 qui prouve que (AI) ⊥ (BN)
2)
a)
A(0;0) - B(1;0) - D(0;1) - M(x;0) - N(0;x)
xI=(xM+xD)/2=x/2
yI=(yM+yD)/2=1/2
Donc : I(x/2;1/2)
Coordonnées des vecteurs :
AI(x/2;1/2)
BN(0-1;x-0)
BN(-1;x)
AI.BN=(x/2)(-1) + (1/2)(x)=-x/2+x/2
AI.BN=0 qui prouve que (AI) ⊥ (BN).
